计算不定积分,第2类换元法中,为啥有时需要分区间讨论,有时不需要?

Question

计算不定积分,第2类换元法中,为啥有时需要分区间讨论,有时不需要?
如:
不定积分1/根号(x^2-a^2)dx, 需要分x>a和x<a分别计算不定积分!
不定积分1/[x*根号(1-x^2)]dx, 需要分x>0和x<0分别计算不定积分!
这是为什么啊？什么情况下需要分区间计算不定积分？这个区间是怎么确定的？
谢谢！

Answer 1

看被积函数在积分区间内是否连续。

例如第一个例子，在x=a处是不连续的，所以要分区间。

第二个例子同样。

y=sinx中pi/2<x<3pi/2时，反函数为y=arcsinx+pi

y=cosx中pi<x<pi时，为不满足单调条件。比如说现在一个y对应两个x ,那么如果有反函数的话就是一个x对应两个y了，显然不符合函数定义。

有个cos^2x要开方出来，如果选择pi/2<t<3pi/2之后，从cos的函数图可以看出来这个范围里都是负数，因此前面要加一个负号，再从3pi/2积分到pi/2。

扩展资料：

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

主要是考虑消去被积函数里的根号后，是带正号还是负号
例如1/√(x^2－a^2)，使用的变换是x＝asect，积分变换要存在反函数，所以t的取值范围是(0,π)，此时√(x^2－a^2)＝|atant|，t＜π/2时取正号，t＞π/2时取负号，所以必须要分区间考虑

Answer 3

主要是考虑消去被积函数里的根号后，是带正号还是负号

例如1/√(x^2－a^2)，使用的变换是x＝asect，积分变换要存在反函数

所以t的取值范围是(0，π)，此时√(x^2－a^2)＝|atant|

t＜π/2时取正号，t＞π/2时取负号，所以必须要分区间考虑。

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 4

是当计算分段函数的积分原函数的时候需要进行讨论 一般是出现根号 绝对值 情况 因为在不同区间里 他的被积函数的表达式 是不一样的

Answer 5

X＝a，是个什么情况呢？那就是a^2-a^2，分母没意义了。所以要分类讨论。下面那个有根号，所以分X是否大于零，因为根号里面的式子大于零才有意义