年北京坐标系与西安坐标系的转换方法

Answer 1

在矿业权实地核查准备工作阶段，收集到的地质、测绘等相关资料、图件和矿业权登记数据中，所涉及的地理数据可能是不同大地坐标系下的坐标数据。从实际情况来看，矿业权拐点坐标大多采用的是1954年北京坐标系，矿区已有的测量控制点和测量资料多数采用的也是1954年北京坐标系。本次矿业权实地核查测量工作采用的是1980西安坐标系，在实地测量和数据整理中涉及1954年北京坐标系与1980西安坐标系的转换。下面简要介绍二者之间转换的理论与方法。

（一）高斯投影正算和反算

将大地坐标换算为平面直角坐标，叫做高斯投影正算，是在同一椭球中进行，不存在误差。其常用量定义和公式如下：

a为椭球长半轴

b为椭球短半轴

f为椭球扁率

e为第一偏心率

e＇为第二偏心率

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B为纬度，单位为弧度

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M为子午圈曲率半径

N为卯酉圈曲率半径

子午线弧长X

设有子午线上两点p1和p2,p1在赤道上，p2的纬度为B,p1、p2间的子午线弧长X计算公式：

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例如，1980西安坐标系a=6378140,e²=0.006694385,A'＝1.005052506,B'＝0.002531556209,C'＝2.656901555E-06,D'＝3.470075599E-09,E'＝4.916542167E-12,F '＝7.263137253E-15,G'＝1.074009912E-17以B=30°弧度值0.5235987756为例，在Y=0时算得X=3320114.946。

当Y≠0,l≠0时则需要采用下列积分和逐次趋近的方法。

（1）高斯正算公式（利用点的经纬度计算XY坐标）

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（2）高斯反算公式（利用点的XY坐标计算经纬度）

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（3）底点纬度B_f迭代公式

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直到B_i-1-B_i小于某一个指定数值，即可停止迭代。

式中

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国家测绘局经过改进，将7个系数改为5个算出各椭球的值，采用公式如下：

（1）高斯投影正算（B,L→x,y）

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式中：X₀=C₀B-cosB（C₁sinB+C₂sin²B+C₂sin⁵B+C₄sin⁷B）

m₀=lcosB

l=L－中央子午线经度值（弧度）

L,B为该点的经纬度值。

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式中：t=tanB，η²=e'²cos²B,

C,C₀,C₁,C₂,C₃,C₄,e²为椭球常数

（2）高斯投影反算（x,y→B,L）

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式中：t=tanB_f，η²=e'²cos²B_f，

，K₁K₂,K₃,K₄为椭球常数。

各坐标系椭球常数如表4-1。

表4-1 各大地坐标系椭球常数

国家测绘局采用的公式编程更加容易，高斯投影的正算、反算因为是在同一椭球下进行，公式是严密的，不存在误差，电算操作非常方便。现在网上很多软件有这种功能。度、分、秒输入使用小数形式，小数点前面是度，小数点后前两位为分，后两位为秒，再后面为秒的十进制小数。如25.23451124其值为25°23′45.1124″，正反算已经成了非常简单的事。高斯正算、反算必须考虑到椭球参数，椭球不同结果是不同的。必须考虑到中央子午线位置。因为各带中都有重复点，本次实地核查要求使用3度带，所有Y坐标必须带有3°带的带号，不允许使用独立坐标系或假定坐标系。

（二）参心坐标与空间直角坐标的关系

空间直角坐标X、Y、Z与大地坐标B、L、H间的关系表示如下：

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大地坐标B、L、H 与空间直角坐标X、Y、Z间的关系表示如下：

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式中

在转换中对于不知道椭球高的控制点可将控制点的大地高置为0，放在椭球面上计算，三维就变成二维，其效果更好。

（三）坐标系统转换

1954年北京坐标系与1980西安坐标系的转换通常有两种方法：四参数转换法和七参数转换法。

1.四参数转换法

所谓四参数转换是两个平移参数，一个旋转参数，一个尺度比。不考虑什么椭球，在小范围内按平面坐标直接平移、旋转、缩放。最少条件是两个公共点，多公共点时可以使用最小二乘法，删除残差大的点。这在区域面积小的情况下是可以的，一般不宜超过40平方千米。四参数转换模型如下：

x₂＝Δx+x₁（1+m）cosa-y（1+m）sina

y₂＝Δx+x₁（1+m）sina-y（1+m）cosa

2.七参数转换法

该方法适用于椭球间的坐标转换。其实质是原椭球空间直角坐标（X₁,Y₁,Z₁）与新椭球空间直角坐标（X₂,Y₂,Z₂）间的转换。椭球间的坐标转换至少需要3个公共点，解算七参数。转换公式采用的是布尔莎公式，法方程的解算采用高斯消元法。高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。迭代法较消元法的残差大。

椭球间的坐标转换适用基于椭球的参心（地心）坐标系间的转换，而不适用于基于平面的独立坐标系间以及独立坐标系和参心（地心）坐标系间的转换。基于椭球的坐标转换中（七参数），椭球→椭球的转换实际上是在空间直角坐标系中完成的。完整的变换过程如下（以“平面→平面”为例）：（x₁,y₁,H₁）→（B₁,L₁,H₁）→（X₁,Y₁,Z₁）→（X₂,Y₂,Z₂）→（B₂,L₂,H₂）→（x₂,y₂,H₂）。首先把直角坐标系下的直角坐标，原公共点中的1954年北京坐标转换成2000国家大地经纬度坐标，再转换为1954年北京坐标系的参心坐标，公共点的1980西安坐标做同样转换。利用两个椭球的参心（地心）坐标求得转换参数，利用该参数直接将1954年北京坐标系下的坐标转换成1980西安坐标系下的坐标。在上述过程中，高程H₁、H₂是大地高（椭球高）。大地高＝正常高＋测区高程异常。如果不需要转换高程的话，可以将高程和高程异常全部置为0。不可将1954年北京坐标系坐标所带的正常高直接代入。

七参数的转换模型如下：

（1）七参数转换模型

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式中：ΔB，ΔL为同一点位在两个坐标系下的纬度差、经度差（弧度）；

a，Δf为椭球长半轴差（米）、扁率差（无量纲）；

X，ΔY，ΔZ为平移参数（米）；

ε_x，ε_y，ε_z为旋转参数（弧度）；

m为尺度参数（无量纲）。

最少3个公共点可以解求出七个参数。

（2）三维七参数转换模型

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式中：ΔB，ΔL，ΔH为同一点位在两个坐标系下的纬度差（弧度）、经度差（弧度）、大地高差（米）；

ρ为一个弧度的秒值，180×3600/π弧度/秒；

a为椭球长半轴差（米）；

f为扁率差（无量纲）；

X，ΔY，ΔZ为平移参数（米）；

εx，ε_y，ε_z为旋转参数（弧度）；

m为尺度参数（无量纲）。

最少3个公共点可以解求出七个参数。

七参数适用于整个测区的转换，面积小于2000平方千米的可以一次转换完成，面积大的可以分区转换，各分区之间应选公共点，以保证数据的接边精度。关于残差，国家规定以1∶2000图为例，残差为图上0.1毫米即实地20厘米，超过3倍中误差的点删除。为了保证矿业权矿界拐点转化的精度，本次矿业权实地核查规定残差超过实地0.1米一般不宜使用，实际上比国家规定的精度严，相当于国家规定的1/6。

（四）利用坐标转换软件进行坐标转换

以上介绍了1954年北京坐标系和1980西安坐标系转换的理论，在实际转换时可以采用相关的软件来完成。目前，市场上有多种坐标转换软件可供选择。在选择软件时，应注意部分软件转换的精度可能达不到本次矿业权实地核查的要求。下面以经天测绘技术公司开发的测量计算工具包软件V4.05为例，介绍坐标转换方法。

该软件界面如图4-3。该软件可以进行高斯正算、高斯反算、坐标换带、椭球间的转换，可以批量导入，可以保存数据、保存公共点，包括了坐标转换所需的相关计算功能。另外，该软件还能实现2000国家大地坐标系与1954年北京坐标系、1980西安坐标系、WGS-84坐标系以及独立坐标系的转换。

图4-3 经天测绘技术公司开发的测量计算工具包软件界面

坐标系统变换，可以采用平面坐标转换中的多公共点相似变换和椭球坐标转换。小面积可以采用多公共点相似变换。限制在400平方千米左右，不超过1 幅1∶50000图。它与中央子午线无关、高程需要置为0，计算参数的输入文件为文本文件，格式为：

点号，原X 坐标，原Y坐标，新X 坐标，新Y坐标

需要转换的输入文件格式为：

点号，原X 坐标，原Y坐标

参数计算点数不超过30个，文件可以导入，公共点可以保存，参数也可以保存。转换坐标可以导入，转换后的坐标可以保存。需要注意的是，转换坐标的位数与计算参数的坐标位数应一致。计算参数不使用带号，转换后坐标也没有带号。图4-4中的算例X舍去前4位，Y舍去前3位。

图4-4 多公共点平面相似变换窗口

面积较大的测区应使用7参数转换。在椭球间坐标转换开关下，有平面－平面、大地－平面、平面－大地、大地－大地4个子开关。对于采矿权，可使用平面－平面；对于探矿权，使用大地－大地，小数后位数较多，根据需要可将尾部删去。输入文件的格式与上述相同，需要输入中央子午线，Y坐标不加带号，在不知道1954年北京坐标、1980西安坐标的椭球高的情况下，可在高程栏输入0，测区高程异常输入0，探矿权是大地坐标格式，小数点前3位为°，后2位为′，3、4位为″，后面为十进制的秒的小数，如108°33′15″8563，输入108.33158563，由于控制点坐标是X、Y格式，可用高斯投影反算将控制点变为大地坐标格式。或是使用高斯坐标正算把探矿权登记坐标转换为直角坐标，计算完成后再使用高斯坐标反算将1980西安坐标转换为2000国家坐标。图4-5表示一个县的采矿权转换过程，Y坐标略去了前3位数。

图4-5 椭球间平面坐标转换窗口

需要注意的是，该软件没有采用软件狗加密，但需要注册才能用，采用机器码注册，一个软件只能装一台计算机专用。