简述自然对数的底数 e

Answer 1

自然对数底数 e，定义为满足以下等式的常数：如果某个函数在 x 的导数等于函数值本身，那么 x 的值为 e。通过研究指数函数，我们发现当底数为 e 时，此函数的导数恰等于其自身。具体而言，设函数 f(x) = e^x，根据导数定义，我们求得 f'(x) = e^x。利用指数性质，可将 f'(x) 重写为 e^x = e^(x * 1)，表明其导数等于其自身。若 e = 1，则导数不等于自身，通过取 e 大于1的数值，计算结果约为 2.71828，显然不等于 1。因此，我们需要探索 e 的定义。

假设存在一个未知数 e，我们令 e = 1 + Δ，其中 Δ 是 e 与 1 的差值。当 Δ 极小，我们让 Δ → 0，即考虑 e 接近于 1 的情况。对于 e，我们对它进行对数运算，可得 ln(e) = ln(1 + Δ)。由于 ln(1 + Δ) ≈ Δ，当 Δ 很小时，对数与 Δ 非常接近。因此，ln(e) ≈ Δ，说明 e 的自然对数接近于 Δ。将 ln(e) 重写为 e^(ln(e))，代入 ln(e) 的近似值 Δ，我们得到 e = (1 + Δ)^1 = 1 + Δ。利用导数推导，我们得出 e 的定义。

回到最初讨论的式子 e = (1 + Δ)^1，此时 e 称为自然对数的底数。通过将指数函数 f(x) = e^x 写为含有 e 的形式，即 f(x) = e^(x * ln(e))，我们得到指数函数的求导公式 f'(x) = ln(e) * e^x。由于 ln(e) = 1，公式简化为 f'(x) = e^x，即指数函数的导数等于函数值本身。这进一步证实了 e 的特殊性质，使其成为自然对数的底数。