设A为一个N阶方阵,证明A的平方=En的充要条件为r(En-A)+r(En+A)=n？

Answer 1

必要性
因为A^2=E,所以 (A+E)(A-E)=0
所以 r(A+E)+r(A-E)= r(A+E -A+E)=r(2E)=n
所以 r(A+E)+r(A-E) = n.
充分性
由已知 r(A+E)+r(A-E)=n
所以 (n-r(A+E))+(n-r(A-E)) = n
所以 (A+E)x=0 与 (A-E)x=0 的基础解系共含n个向量
所以A的特征值只能是1或-1
所以A的属于可能的特征值1和-1的线性无关的特征向量有n个
故A可相似对角化为 diag(±1,±1,...,±1)
所以存在可逆矩阵P使得 A=P^-1diag(±1,±1,...,±1)P所以 A^2=P^-1diag(±1,±1,...,±1)^2P=E,4,A²=E
即
(A-E)(A+E)=O
所以
R(A-E)+R(A+E)=R(E-A)+R(A+E)<=n ①
而
E-A+A+E=2E
n=R(2E)=R[(E-A)+(A+E)]<=R(A-E)+R(A+E) ②
由①，②，得
r(En-A)+r(En+A)=n,0,