离散数学 求主析取范式和主合区范式

Question

大神指导下方法啊

Answer 1

7 (1)
(p∧q)∨r
⇔ [p∧q∧(¬r∨r)]∨[(p∨¬p)∧r]
⇔ (p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(p∧r)∨(¬p∧r)
⇔ (p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨[p∧(¬q∨q)∧r]∨[¬p∧(¬q∨q)∧r]
⇔ (p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)
⇔ (p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)
得到这是主析取范式
检查遗漏的3个最大项是
p∧¬q∧¬r, ¬p∧¬q∧¬r, ¬p∧q∧¬r

⇔ (¬p∨q∨r)∧ (p∨q∨r)∧ (p∨¬q∨r)
得到主合取范式

（2）
(p→q)∧ (q→r)
⇔ (¬p∨q)∧ (¬q∨r)
⇔ [¬p∧ (¬q∨r)]∨[q∧ (¬q∨r)]
⇔ (¬p∧ ¬q)∨(¬p∧r)∨(q∧ r)
⇔ [¬p∧ ¬q∧(¬r∨r)]∨[¬p∧(¬q∨q)∧ r]∨[(¬p∨p)∧q∧ r]
⇔(¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
⇔(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
得到这是主析取范式
检查遗漏的4个最大项是
¬p∧q∧¬r,p∧q∧¬r, p∧¬q∧r, p∧¬q∧¬r

⇔ (p∨¬q∨r)∧ (¬p∨¬q∨r)∧ (¬p∨q∨¬r)∧ (¬p∨q∨r)
得到主合取范式

8 (1)
(p∧q)→q
⇔¬(p∧q)∨q
⇔¬p∨¬q∨q
⇔¬p
⇔¬p∨(¬q∧q)
⇔(¬p∨¬q)∧(¬p∨q)
得到主合取范式

检查遗漏的2个最大项是
p∨¬q，p∨q
⇔ (¬p∧q)∨(¬p∧¬q)
得到主析取范式

（2）
(p↔q)→r
⇔ ¬[(p→q)∧(q→p)] ∨ r
⇔ ¬[(¬p∨q)∧(q→p)] ∨ r
⇔ ¬[(¬p∨q)∧(¬q∨p)] ∨ r
⇔ [¬(¬p∨q)∨¬(¬q∨p)] ∨ r
⇔ (p∧¬q)∨(¬p∧q) ∨ r
⇔ [p∨(¬p∧q)]∧[¬q∨(¬p∧q)] ∨ r
⇔ [(p∨q)∧(¬q∨¬p)] ∨ r
⇔ (p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)
得到主合取范式

检查遗漏的6个最大项是
p∨q∨¬r, p∨¬q∨r, p∨¬q∨¬r,¬p∨q∨r, ¬p∨q∨¬r, ¬p∨¬q∨¬r
⇔ (¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)
得到主析取范式

(3)
¬(r→p)∧p∧q
⇔ ¬(¬r∨p)∧p∧q
⇔ r∧¬p∧p∧q
⇔ F
恒为假

Answer 2

主析取范式是由极小项之和构成的，命题公式化简出来的主析取范式中包含的极小项，其下标对应的指派得到的命题公式的真值应该为1。
主合取范式由极大项之积构成，命题公式等价的主合取范式中包含的极大项，其对应下标应该是使对应的指派得到命题公式的真值为0.
所以，假设有三个命题変元，极小项和极大项的下标分别是0--7,如果一个命题変元的主析取范式表示为m1或m3或m5，它的主合取范式应该是M0且M2且M4且M6且M7.
也就是说下标是极小项下标集合的补集。