什么是柯西准则

Answer 1

柯西准则：在大于某个特定的项数n之后，任选两个项的绝对值总会小于一个数(该数值不确定，但恒大于零)，则这个数列就是基本数列(收敛数列)。

数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有

我们把满足该条件的{x}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{x}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。

该准则的几何意义表示，数列{x}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。

扩展资料：

柯西准则证明

1、必要性

设

 

，则

 

，当m,n>N时，有

那么，

2、充分性

由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。

首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。

解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。

其次证明柯西序列收敛。设{xn}⊆[a,b]，有一个实数集A，A中的任一元素c满足：区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而{xn}中的无限项都落在[c,+∞)。并把A在R中的补集设为B，则：

①由取法可知a∈A，并且显然b∈B。即A和B都是非空数集。

②A∪B=R。

③根据集合A、B的定义，A中任意元素都小于B中的任意元素。

由戴德金定理得，存在唯一实数η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。

因为η是A和B的分界点

所以

④由A的定义可知，

 

根据已知条件，当m,n>N时，|xn-xm|<ε

于是xm-ε<xn<xm+ε。联立④中的不等式，可得到η-2ε<xn<η+2ε。

也就是当n>N时，不等式|xn-η|<2ε成立

所以

参考资料来源：百度百科-柯西极限存在准则