突变理论在采矿工程中的应用

Answer 1

目前，突变理论在工程地质、岩体力学、采矿工程等领域得到了广泛的应用。唐春安等用尖点突变模型研究了岩石在加载系统作用下的破裂过程机理，描述了岩石的破坏过程^[88]。白晨光、邵爱军等将突变理论用于煤层底板突水的研究中，建立了预测煤层底板突水和承压底板关键层失稳的尖点突变模型^[89，90]。于广明通过研究揭示了采动岩体的非线性破坏特征，发现了地层沉陷中的突变现象，系统地研究了地层沉陷过程中的岩体突变破坏机理，使开采沉陷机理研究突破了线性连续介质力学或完全离散介质理论的界限，提出了基于矿山开采非线性沉陷规律的预测模型以及非线性沉陷学的学术思想，建立了矿山开采的非线性沉陷学说^[91]。

所谓突变是指系统从一种稳定状态跳跃式地转变到另一种稳定状态，或者说在系统演化中，某些变量如何从连续逐渐变化导致系统的突然变化。突变理论是研究系统的状态随外界控制参数连续改变而发生不连续变化的数学理论，它提供了一种研究跃迁、不连续性和突然质变的更为普遍的数学方法。突变理论的一个显著优点是，即使在不知道系统有哪些微分方程或这些微分方程不可解的条件下，仅在少数几个假设的基础上，用少数几个控制变量便可预测系统的定性或定量形态。

任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状态跃变到新的平衡状态时就发生了突变，这个过程可通过一个光滑的平衡曲面来描述。突变理论所研究的就是描述这种突变过程的所有可能平衡曲面，千差万别的突变现象以它们的平衡曲面来分类，可以归结为若干基本类型。Thom经过数学推导证明了渐变的控制因素（控制空间）所产生的突变行为（状态空间），在控制空间不超过四维的情况下，自然界的各种突变可归结为7种基本突变类型，按其几何形状分别称为折叠型突变（fold catastroPhe）、尖点型突变（cusP catastroPhe）、燕尾型突变（swallow catastroPhe）、蝴蝶型突变（butterly catastroPhe）、双曲脐型突变（hyPerbolic catastroPhe）、椭圆脐型突变（elliPtic catastroPhe）和抛物脐型突变（Parabolic catastroPhe），如表5.1所示。

表5.1 突变类型

现在主要讨论折叠型和尖点型两种最常用的基本突变的几何形状及其特性。假设系统有n个实质性状态变量x₁、x₂、…、x_i和m个万能扩展参数c₁、c₂、…、c_m，则由这空间定义为状态空间，由方程

水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

确定了在状态空间中的一个n+m-1维的曲面，称为平衡曲面M。M是所有定态解的集合，也可以称为奇点集（临界点集），由方程（5.16）和Hessen矩阵的行列式为零可得

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确定的点的全体称为非孤立奇点集S，S是M的一个子集，它是发生重合的那些定态解的全体。通过方程（5.16）和（5.17）消去状态变量就得到表述控制参数关系的方程，由这些方程确定的点的全体称为分支点集B，它是在参数空间上的投影，突变就发生在这些参数值处，分支点集B把参数空间分成若干区域，在每个区域奇点的数目及其稳定性都是确定的。可以说参数空间的点几乎全部不在分支点集B上，也就是说V的结构不稳定是其结构稳定的无限多个例外，确定分支点集是应用突变理论的最终目标。

5.7.1.1 折叠型突变

折叠型突变的势函数为

V（x）=x₃+Px （5.18）

故状态空间（x，P）是二维的，定态曲面变为定态曲线，由方程

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给出，由此得到

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非孤立奇点集S不仅满足方程（5.19），而且还应满足方程

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联立方程（5.19）和（5.20）得

x₀=0，P=0

图5.6 定态曲线与非孤立奇点集、分支点集及势函数的关系曲线

非孤立奇点集S是状态空间（x，P）中的一个点（0，0）（图5.6a），它在控制参数空间的投影是分支点集，它也是一个点P=0（图5.6b）。分支点集把控制参数空间分成两个区域，在P＜0区域，势函数B（图5.6 c）有一个极小值点和一个极大值点，它们在分支点集P=0处重合成一个拐点；在P＞0区域它们消失，势函数不再有极值点，即在正P轴的定态是空集，在控制参数空间的正P轴或负P轴上，任何一点生成的势函数的结构形式不变，即它们是拓扑等价的，所以可用任何一点生成的势函数作为该区域势函数的代表；在分支点P=0上，势函数的结构发生了变化，分支点集是非生成点集，突变就发生在这里。

5.7.1.2 尖点型突变

尖点型突变又称为点突变，其势函数为

V（x）=x₄+Px₂+qx （5.21）

因此相空间为状态变量x及P、q两个控制变量构成的三维空间，平衡曲面M的方程为

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式（5.22）为系统平衡曲面方程，在（x，P，q）空间中的图形称为突变流行，对势函数求二阶导数并为零得：

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将式（5.22）和式（5.23）联立消去x可得系统突变的分叉集方程：

8P₃+27q₂=0 （5.24）

式（5.24）是一个三次代数方程，它可能有1个实根或者有3个实根。实根数目的判别式为

Δ=8 P₃+27 q₂

当Δ＜0时，有3个互异的实根；当Δ＞0时，只有1个实根；当Δ=0时，若P≠0且q≠0，在3个实根中有2个相同，如果P=q=0则3个实根均相同。

系统的状态是以x、P、q为坐标的三维空间中的一点为代表，则相点位于平衡曲面上，并且总是位于曲面的顶叶或底叶上，中叶为不稳定状态。平衡曲面M在控制平面Pq上的投影是一种拓扑变换或映射，可用ƒ表示为

ƒ：M→C（R³-R²）

即

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控制变量P、q的变化将引起状态变量x的平稳变化，当控制点（P，q）越过分叉集时，则产生不连续的突变，如果相点变化到曲面M的边缘上，则会跳跃到另一叶上，引起x的突变。当P＞0时，q的变化只引起x的光滑变化；当P减小到负值时，即P＜0时，平衡曲面M就出现折叠，状态变量x的变化就不再连续。

总之，当系统状态处于平衡曲面的上叶时，平衡是稳定的。随着控制变量q的变化，状态变量x也会发生变化，系统平衡点转移到折痕处，此时，系统达到临界平衡状态。在外界扰动下，哪怕是一个无穷小的扰动，系统就会由折痕处移到曲面中叶上，由于中叶处于不稳定状态，无法存在，就会跳跃到曲面的下叶上，从而引起系统发生突变。

尖点型突变是最常用的一种突变模型，也代表其他几种突变类型的特性，其特性概括为以下几种^[92]：

（1）多模态性：参数空间的一个点可以对应系统的多重定态解，其中有的是渐稳定的，有的是不稳定的。只要多重定态解存在，系统就可能在渐迸稳定的定态解之间跃迁迸而发生突变，也就是说系统的位势对于控制参数的某些范围可能有两个或多个极小值。对于尖点突变则只有双模态，多重定态解存在的真正根源是系统的非线性，即突变只有在非线性系统中才出现。

（2）不可达性：在多重定态解中，必有不稳定的定态解存在，实际系统是不可能达到不稳定的定态解，这也是突变的原因之一，否则在任何情况下系统的状态都可能连续地变化。

（3）突跳性：如果系统具有上述两个性质，就会有突变发生，即控制参数的连续变化可以导致系统从势函数的一个极小值突跳到另一个极小值。突跳意味着位势值在很短的时间内有一个很大的改变。

发生突跳的位置与涨落的大小有关，如果涨落很小，近似遵从拖延规则，突跳发生在分支点集的邻域；如果涨落很大，则遵从 Maxwell规则，系统会寻求势函数的全局最小值。

（4）滞后性：当物理过程并非严格可逆时，会出现滞后，即系统由第一个局部极小值跳到第二个局部极小值时的控制参数位置与第二个局部极小值跳到第一个局部极小值时的控制参数位置不同。

（5）发散性：控制参数数值的有限变化会导致状态变量平衡位置数值的有限变化。对于控制参数数值的一个小扰动只引起状态变量的初值和终值的微小变化，但在退化临界点附近，控制参数数值的一个微小变化可能导致状态变量终值的很大变化，习惯上把这种性质称为突变的发散性。

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