几道级数的问题

Question

级数n!/n^n的敛散性，并证明
级数2^n*n!/n^n的敛散性，并证明
幂级数n!*x^n/n^n的收敛半径，并证明
一定要证明！！

Answer 1

a(n) = n!/n^n

a(n+1)/a(n) = (n+1)!/(n+1)^(n+1)*n^n/n!

= (n+1)n^n/(n+1)^(n+1)

= [n/(n+1)]^n

= 1/[1 + 1/n]^n

lim_{n->正无穷}[a(n+1)/a(n)]

= lim_{n->正无穷}[1/[1 + 1/n]^n]

= 1/e < 1

级数n!/n^n收敛

b(n) = 2^n*n!/n^n

b(n+1)/b(n) = 2^(n+1)*(n+1)!/(n+1)^(n+1)*n^n/[2^n*n!]

= 2(n+1)n^n/(n+1)^(n+1)

= 2[n/(n+1)]^n

= 2/[1 + 1/n]^n

lim_{n->正无穷}[b(n+1)/b(n)]

= lim_{n->正无穷}[2/[1 + 1/n]^n]

= 2/e < 1

级数2^n*n!/n^n收敛

c(n) = x^n*n!/n^n

c(n+1)/c(n) = x^(n+1)*(n+1)!/(n+1)^(n+1)*n^n/[x^n*n!]

= x(n+1)n^n/(n+1)^(n+1)

= x[n/(n+1)]^n

= x/[1 + 1/n]^n

lim_{n->正无穷}[c(n+1)/c(n)]

= lim_{n->正无穷}[x/[1 + 1/n]^n]

= x/e < 1

幂级数 x^n*n!/n^n的收敛半径 = e.