什么是线性微分方程?

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线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。

数学上，一个线性函数（映射）

 

拥有以下两个性质：

叠加性：

 

齐次：

 

在α是有理数的情况下，一个可叠加函数必定是齐次函数（在讨论线性与否时，齐次函数专指一次齐次函数）；若

 

是连续函数，则只要α是任意实数，就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数α时，叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说，在复数的世界里存在一种反线性映射，它满足叠加性，但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起，称之为叠加原理：

对于一个表示为

的方程，如果是一个线性映射，则称为线性方程，反之则称为非线性方程。另外，如果

 

，则称此方程齐次（齐次在函数和方程上的定义不同，齐次方程指方程内没有和x无关的项C，即任何项皆和x有关）。

扩展资料：

常微分方程的定义：

定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　

定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。

如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。