均值不等式的推导过程是怎样?

Answer 1

首先，根据均值不等式，对于任意的正实数 $x$ 和 $y$，有： $$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$$ 等号成立当且仅当 $x=y$ 时。将 $x=\frac{a}{2}$ 和 $y=\frac{a}{2}$ 代入上式，得到： $$\frac{a}{4} \geq \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{b^2}{4}} = \frac{ab}{4}$$ 同理，将 $x=\frac{b}{2}$ 和 $y=\frac{b}{2}$ 代入上式，得到： $$\frac{b}{4} \geq \frac{ab}{4}$$ 将上述两个不等式相加，得到： $$\frac{a}{4}+\frac{b}{4} \geq \frac{2ab}{4}$$ 即： $$\frac{a+b}{4} \geq \frac{ab}{2}$$ 由于已知 $a+b=2$，因此上式等价于： $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{2}{ab}$$ 同时，由于 $a>0$，$b>0$，因此有 $2\sqrt{ab} \geq 2\sqrt{ab}$。将上述两个不等式相加，得到： $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab} \geq \frac{2}{ab}+2\sqrt{ab}$$ 令 $t=\sqrt{\frac{1}{ab}}$，则 $t^2=\frac{1}{ab}$，因此： $$\frac{2}{ab}+2\sqrt{ab} = 2t^2+2\frac{1}{t} \geq 4$$ 其中等号成立当且仅当 $t=1$ 时，也就是 $a=b$ 时。因此，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{