用导数知识,证明不等式,微积分

证明,当X>0时,有(1+X)㏑²(1+x)>X²

证明:令f(x)=(1+x)ln²(1+x)-x²,
则f(x)在(0,+∞)内连续可导
f'(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)-2x,令g(x)=f'(x),
则g'(x)=[2ln(1+x)]/(1+x)+2/(1+x)-2=[2ln(1+x)+2-(2+2x)]/(1+x)=2[ln(1+x)-x]/(1+x),
令h(x)=ln(1+x)-x,
则当x∈(0,+∞)时, h'(x)=-x/(x+1)<0,
∴h(x)在(0,+∞)内单调递减,
∴h(x)<h(0)=0,即ln(1+x)-x<0在(0,+∞)上恒成立,
∴当x∈(0,+∞)时, g'(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)内单调递减,
∴g(x)<g(0)=0即f'(x)<0
∴f(x)在(0,+∞)内单调递减
∴f(x)<f(0)=0
即当x∈(0,+∞)时, (1+x)ln²(1+x)<x²
(你的题目可能写错了,可以代特殊值x=1进去算应该是<号)
温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
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用导数知识,证明不等式,微积分
证明:令f(x)=(1+x)ln²(1+x)-x²,则f(x)在(0,+∞)内连续可导 f'(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)-2x,令g(x)=f'(x),则g'(x)=[2ln(1+x)]\/(1+x)+2\/(1+x)-2=[2ln(1+x)+2-(2+2x)]\/(1+x)=2[ln(1+x)-x]\/(1+x),令h(x)=ln(1+x)-x...

利用导数证明不等式有哪些常用的方法
利用导数证明不等式有4种常用的方法:1、利用泰勒公式证明不等式,2、利用中值定理证明不等式,3、利用函数的性质证明不等式,4、利用Jensen不等式证明不等式。补充资料:导数,也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值...

如何用导数求不定积分?
2^n-1]\/3^n=(2^n\/3^n)-1\/3^n=(2\/3)^n-(1\/3)^n.n->无穷大时,(2\/3)^n->0,(1\/3)^n->0,所以,[2^n-1]\/3^n=(2\/3)^n-(1\/3)^n->0-0=0。若分开后,极限都存在,就可以分开求。在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷...

导数导数公式及证明
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导数的物理意义
2、求解极值问题:在微积分中,极值问题是一个重要的研究课题。导数的一个重要应用就是用来求解这类问题。通过求导,我们可以找到函数的极值点,也就是函数取得最大值或最小值的点。3、证明不等式:导数也常常被用来证明不等式。例如,如果我们有一个函数f(x),并且我们知道它在区间a,b上的某个子...

如何用导数证明:当x→X0时,函数f(x)→A?
证明:设y=f(x)在x0处可导,f'(x0)=A 由可导的充分必要条件有 f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o(│x-x0│)当x→x0时,f(x)=f(x0)+o(│x-x0│)再由定理:当x→x0时,f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小)得,limf(x)=f(x0)。

如何推导微积分导数公式?
导数公式的推导过程涉及到微积分的基本概念和运算规则。下面是一些常见的导数公式及其推导过程:1. 常数函数的导数:对于任意常数c,导数为0。推导过程:根据导数的定义,我们有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]\/h。对于常数函数f(x) = c,我们有f(x+h) = c,因此[f(x+h...

微积分入门(基础知识及应用)
微积分的基础知识 导数 导数是微积分中最基本的概念之一,它表示函数在某一点处的变化率。导数的定义式为:f'(x)=\\lim\\limits_{\\Deltax\\to0}\\frac{f(x+\\Deltax)-f(x)}{\\Deltax} 其中,$f(x)$是函数,$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的导数。导数可以帮助我们求出函数在某一点处的...

考研数学常用公式
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数学导数的概念与微积分有何关联?
数学中的导数和微积分是密切相关的概念。导数是微积分的基础,而微积分则是导数的应用和发展。首先,导数是用来描述函数在某一点的变化率的。它表示了函数在该点的切线斜率或变化速度。通过求导数,我们可以得到函数的极值、拐点等重要信息,这对于解决实际问题非常重要。其次,微积分是将导数和积分这两个...

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