“一元二次方程”学习要点
一、本章知识结构
1、知识结构梳理
2、定理公式总结
(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac 。
* 原载于《教材全程全解同步精讲精练》(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社, 2004年5月。
(4)一元二次方程的根的判别式定理：
△＞0方程有两个不相等的实数根；
△＝0方程有两个相等的实数根；
△＜0方程没有实数根；
△≥0方程有两个实数根。
(5)一元二次方程根与系数的关系定理：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=
推论1：如果方程x2+px+q=0的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.
推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-( x1+x2)x+ x1x2=0
(6)二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。
(7)求一元二次方程两根x1，x2的对称式的值，常用公式：
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
二、数学规律总结
1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。
在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。
2、本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于任何一个一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。
一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。
3、二次三项式ax2+bx+c在实数范围能够分解的条件
b2-4ac≥0
4、一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的条件b2-4ac≥0
三、思想方法总结
1、转化思想
在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：
因式分解 降次
去分母 整式化
代入法 消元
因式分解 降次
转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。
2、方程思想
在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。
方程思想在本章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如的“Ⅱ—Ⅰ”型方程组等。
3、公式化与分类讨论的思想
在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总
希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式S=Vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一元二次方程的求根公式x= 。
可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为△=b2-4ac，当△≥0时，根式有意义，公式才能成立，才能应用；那么，当△＜0时，公式就不能用了。这时，说明什么问题？方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有根吗？不能这样说，因为公式的推导过程已经表明，只有在△≥0时，才能得到求根公式，也就是说，只有△≥0时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。若△＜0时，不能用公式求实数根，也许可以用别的方法求出来。这就提出了一个问题：能否在不解方程的情况下，判断方程是否有实数根？通过仔细分析配方过程，终于弄清了“△”对判别一元二次方程实数根的作用：
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说，记△=b2-4ac，那么：
(1)若△＞0，则方程有不相等的实数根；
(2)若△=0，则方程有两个相等的实数根；
(3)若△＜0，则方程没有实数根。
反之亦然
由于△＞0，△=0，△＜0，是对△值的完全的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根(也是对方程根的情况是完全分类)三种情况一一对应，这就为分类讨论打下了基础。此外，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分情况进行讨论，再根据各情形的知识进行研究探索、求解等等。(前面已举例)
分类讨论是数学中重要的思想方法，我们一定要注意体会该思想方法，积累自己的数学素养。
⑷本章所应用的数学方法主要有：①代入消元法；②因式分解降次法；③换元法；④配方法。
代入消元法和分解降次法主要体现在解二元二次方程组；换元法主要体现在解可化为一元二次方程的分式方程和二次三项式的因式分解；配方法主要体现在利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推导、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用等。
四、解题方法指导
1、观察与分析的思维方法
“观察”和“分析”是解数学题中广泛使用的基本思维方式，无论是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程组，都离不开深入地观察和分析。
(1)解一元二次方程的观察和分析
①解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，应选用直接开平方法，先根据平方根意义得x-m=±，再移项，得方程的根为x1=m+ , x2=m- .
②解形如(x-m)(x-n)=0的方程，可根据“几个因式的积为零，那么这几个因式中至少有一个因式为零”的情况，则可能化为x+m=0或x-n=0得到方程的根为x1=m, x2=n 。
③除了上述两种形式的非一般式的一元二次方程，一般应先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后再解，对于容易分解的，用因式分解法解，对于不易因式分解的，再用公式法解。
例如 选用适当的方法解下列方程
⑴(x+2)2=4 , ⑵3(x+1)(-x)=0 , ⑶3x(x-)=1 , ⑷2x2+3x(1-x)+2=0.
分析：通过对提供的方程进行观察和分析易得到下述结论：⑴用直接开平方法较简单；⑵是两个因式的积为0，可直接写出x1=-1 , x2=；⑶将之化为一般形式为3x2-2x-1=0，则可用因式分解法解较简单；⑷化为一般形式为x2-3x-2=0，因不易分解、故可用公式法解较合适。
(2)解分式方程的观察与分析
“转化”是解分式方程以及高次方程等比较复杂的方程基本思想。那么，如何实现转化呢？这就要求我们根据提供的分式方程的式结构进行观察和分析，寻求出比较恰当的求解方法。
将分式方程转化为整式方程的方法是“去分母法”，实施这一方法的操作流程是将原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。但是，经过转化后的方程有时会是一个高次方程，到目前为止，我们还没有找到解高次方程的一般方法，因此，可根据分式方程的“式结构”特征，选用特殊的解法——换元法。在使用换元法解分式方程时，要注意有些方程换元的特征比较明显，有些却不明显，需要做适当的变形，方可显露出换元的特征，如下列方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷2(x2+)-9(x+)+14=0
分析：上述方程中，⑴和⑵具备直接换元的条件，其中⑴设y=可转化为y2-y-2=0；⑵设 y=，可转化为y+；
⑶要将方程中3x2+9x转化为3(x2+3x)，设y=x2+3x，则原方程可变为3y-；⑷要注意把握x2+与x+的关系，若设y=x+，则y2=x2+，∴x2+，则原方程变为：2(y2-2)+y+14=0.
(3)解二元二次方程组的观察与分析
我们所学习的二元二次方程组可分为两种类型：第一类型即“Ⅱ—Ⅰ”型，指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“代入消元法”，第二类型即“Ⅱ—Ⅱ”型，指的是由两个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“分解降次法”，通过分解降次，可将第二类型转化为第一类型，再用代入消元法来解。因此，我们在解二元二次方程组时，一定要认真观察和分析方程组中每个方程的类型和特征，采用“对症下药”的解题策略，寻求最适宜的求解方法。例如下列方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
分析：⑴属“Ⅱ—Ⅰ”自然用代入消元法来解；⑵属“Ⅱ—Ⅰ”则可用代入消元法来解，但是⑵中的第1个方程可进行因式分解，则又可用“分解降次”法来解(要注意“Ⅱ—Ⅰ”型有时也可用“分解降次”法来求解；⑶属“Ⅱ—Ⅱ”型，则可用“分解降次”，当然也可用两边开平方法将之“裂变”为四个二元一次方程组来解；⑷属“Ⅱ—Ⅱ”型，但只有第一个方程能用因式分解，则只可用“分解降次”法，将之“裂变”为两个“Ⅱ—Ⅰ”来解。
2、分析与构造的思维方法
对于形如 的方程组，可用“韦达定理法”来解，即把x、y看作一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个一元二次方程就可求得方程组的解。其策略是根据“式结构”巧妙地构造出一个一元二次方程，然后通过解这个一元二次方程的方法达到解方程组的目的。
利用韦达定理解某些具有上述特殊形式的二元二次方程组，能够使问题化难为易，化繁为简，观察下列方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
这些方程组都可以用韦达定理法求解，有的可直接构造方程，有的需要做适当的变形后，再构造出一元二次方程。
如，方程组⑴可直接构造以x、y为根的一元二次方程z2-7z+12=0；方程组⑵先变形为 然后构造出以x和-y为根的一元二次方程z2-11z+18=0；方程组⑶，先变形为再构造以x、y为根的方程z2-17z+60=0；方程组⑷，先变形为 再构造以x2、y2 为根的方程z2-5z+4=0,或者变形为或然后分别构造以x、y为根的方程z2-3z+2=0.或z2+3z+2=0.
3、分析与综合的思维方法
“分析”和“综合”是两种基本的思维方法，在数学中有着特别重要的作用。
“分析”就是把事物的整体分解成若干个组成部分，并对各个部分分别进行考察；“综合”就是把事物的各个部分联结成一个整体，并从整体上加以研究，“先分析后综合”这是人们认识事物的一条基本途径，也是解数学题的一种常用的手段。
数学综合题，可以看成是由几个互联相关的“小题目”组成的一个“大题目”。解数学综合题时，应当先对综合题进行“分析”——把它分解成几个互相关联的“小题目”，并逐一解答这些“小题目”，再把“分析”所得的结果“综合”起来，从而求得综合题的答案。例如：(2003·济南中考)已知方程组 的两个解为且x1,x2是两个不相等的正数。⑴求a的取值范围;(2)若x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求a的值。
分析：这是一道既涉及到方程组，又涉及到一元二次方程根的判别式，根与系数关系的综合题，它可以分解成如下3个“小题目”：
⑴方程组可转化为一个什么样的一元二次方程？
⑵若x1，x2为转化成的一元二次方程的两根，且x1≠x2，求待定参数a的范围；
⑶若x1，x2为转化为一元二次方程的两根，且 x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求待定参数a的值。
从上例可以看出，解数学综合题的过程，通常也是一个“先分析后综合”的过程。
五、综合题例分析
例1 (2003·北京市中考题)已知：关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2,且(x1-x2)2=16,如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
分析：首先根据x2-2mx+3m=0的两根x1，x2满足(x1-x2)2=16的条件，将参数m的值求出 ,然后根据m的值，将两方程的根分别求出来，最后作出判断。
[解] ∵x1， x2是方程x2-2mx+3m=0的两个实数根，
∴x1+x2=2m，x1·x2=3m
∵(x1-x2)2=16 ∴(x1+x2)2-4x1x2=16
∴4m2-12m=16解得m1=-1,m2=4
⑴当m=-1时，
方程x2-2mx+3m=0为x2+2x-3=0，则x1=-3，x2=1，
方程x2-2mx+6m-9=0为x2+2x-15=0，则x1= -5,x2=3
∵-5，3不在-3和1之间 ∴m=-1不合题意，舍去。
⑵当m=4时，方程x2-2mx+3m=0为x2-8x+12=0
则x1=2，x2=6
方程x2-2mx+6m-9=0为x2-8x+15=0
则x1’=3 x2’=5
∵2＜3＜5＜6
即x1＜x1’＜x2’＜x2 ∴m=4 满足题意
综合(1)和(2)，m=4
[评注] 本题事实上就是根据题中给出的一个条件，运用根与系数的关系，求参数值的问题，不过本题已将该题型拓展延伸为判断两个方程根的大小范围问题了。因此，我们在审题中，一定要有“慧眼识真金”的本领，善于将提供的“新”问题，通过
分析、类比、综合等思维方式，转化到我们已经会解决的“老”问题上来。
例2 已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0
（1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另外两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。
[分析] （1）要证一个一元二次方程有两个实根，只需要证明判别式△≥0即可；（2）有关等腰三角形问题，若未指明腰和底边时，要进行讨论，因此，本题对a是等腰三角形的底边还是等腰三角形的一腰要进行分类讨论。
[解] （1）△=[-(2k+1)]2-4×4(k-)
=(2k-3)2
∵不论k取何值时，(2k-3)2≥0，即△≥0。
∴不论k取何值时，这个方程有两个实数根
⑵①当a是等腰三角形底边时，这时b、c即为等腰三角形两腰，则b=c
∴方程有两个相等的实数根。
则△=(2k-3)2=0 k=
原方程即为x2-4x+4=0 . b=c=2
当b=c=2时，b+c=2+2=4=a 这与“三角形中两边之和大于第三边”相矛盾，故a不可能是此等腰三角形的底边
②当a是等腰三角形的腰时，这时，b、c中至少有一个值为4，把x=4代入原方程中，16-4(2k+1)+4(k-)=0 k=，则原方程为x2-6x+8=0 两根为x1=2，x2=4，即b、c两边一边为2，另
一边为4，符合三角形三边之周关系，这时△ABC的周长为a+b+c=4+(2+4)=10
[评注]
⑴要判断二次三项式的值的正负性，通常采用配方法，利用完全平方式的非负性来确定。
⑵由于本题中的a、b、c的值是三角形三边的长，必须满面足“两边之和大于第三边”否则就不能构成三角形的三边。
⑶在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类讨论法解决问题。
例3 已知关于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的两个实数根为x1，x2.
⑴若此方程的两根之和不大于两根之积，求p的值。
⑵若p=-1，求x13+2x22+2x2的值。
[分析] ⑴利用根与系数关系建立关于p的不等式，由完全平方式的非负性，求出p的值。注意，最后一定要注意判别式的值为非负数。
⑵首先利用根的定义，对x13进行降次处理，把所求代数式转化成关于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。
[解] ⑴∵x1，x2为方程两根
∴x1+x2=-2p x1·x2=-p2-1
据题意，得x1+x2≤x1x2
即-2p≤-p2-1
∴p2-2p+1≤0
(p-1)2≤0 ，则p=1
当p=1时，原方程为x2+2x-2=0 △=12＞0
∴所求p的值为1.
⑵当p=-1时，方程x2+2px-p2-1=0。为x2-2x-2=0，x1、x2为方程两负数根。
由方程根的意义有：x12-2x1-2=0 即x12=2x1+2
由根与系数关系有：x1+x2=2, x1·x2=-2
则x13+2x22+2x2=x1·x12+2x22+2x2
=x1(2x1+2)+2x22+2x2
=2x21+2x1+2x22+2x2
=2(x12+x22+x1+x2)
=2[(x1+x2)2-2x1x2+(x1+x2)]
=2×(4+4+2)
=20
[评注] 求关于一元二次方程的两根的代数式的值，如果代数式是关于两根的对称式，先把这个代数式通过变形化成两根之和及两根之积的形式，再把由根与系数的关系所得的两根之和及两根之积的值代入即可；如果代数式不是两根的对称式，则由根的定义，通过对其中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次，直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮换对称式转化成换对称式来解决，这也体现了“转化与化解”的数学思想方法。
例4 已知a、b、c是△ABC的三边，a、b的值是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两个实根，且满足25asinA=9c
(1)求证△ABC是直角三角形；
(2)求a、b、c三边的长。
[分析] (1)题中只给出了a、b的长是已知方程的两根。因此，根据根与系数的关系，通过探求出三角形三边a、b、c的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明△ABC为直角三角形。
(2)在(1)已证明了△ABC为直角三角形的前提下，则SinA只可以用三角函数来表示边间的关系，根据边间关系及根与系数的关系，可求出a、b、c的值。
[解] (1)∵a、b是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两根
∴a+b=4+c ab=4C+8
∵a2+b2=(a+b)2-2ab=(4+c)2-2(4c+8)=c2
即 a2+b2=c2 ∴△ABC为直角三角形
(2)∵25aSinA=9c 且SinA=
∴25a·=9c ， =
设a=3k c=5k，则b=
将a=3k ， b=4k ， c=5k代入a+b=4+ck
3k+4k=4+5k ∴k=2
∴a=6 ， b=8 ， c=10。
[评注] (1)确定一个三角形为直角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题由于没有提供角的关系，虽然提供了三角函数，但三角函数关系式也只能在直角三角形中使用(本题本身就是要我们证明此三角形为直角三角形)，故本题若选择从角的方面来判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三角形。
(2)在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转化成纯边(或纯角)的关系式来解决问题，本题(2)要求的是三角形的三边，则我们可以通过三角函数的关系式，将问题转化纯边来解决。在解题过程中，遇有边边之比的问题，则可引进比例系数k这个参
数，要求三边，则即求比例系数k。
例5 若a、b是实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不相等的实根。
(1)求证：a2-4b-8=0
(2)若该方程三个不相等实根恰好为一个三角形内角的度数， 求证该三角形必有一内角是60°。
(3)若该方程三个根恰为一直角三角形三边，求a、b。
[分析] (1)由绝对值概念可得两个一元二次方程，有三个不相等的实数根，说明得到的两个方程中其中有一个方程有两个相等的实数根，或得到的两个方程中，必有一个公共的实根。
(2)由三角形内角之和为180°和根与系数的关系可求得必有一根为60。
(3)先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根，再由勾股定理建立方程来求解。
[解] (1)证明：∵|x2+ax+b|=2
∴x2+ax+b-2=0 ① x2+ax+b+2=0 ②
显然方程①和②不可能有一公根，则方程①和②必有一个方程有两个相等的实数根。
△1=a2-4b+8 △2=a2-4b-8
∵△1＞△2 ∴△2=0
即a2-4b-8=0
(2)设方程①的两根为x 1，x2，则x 1+x2=-a， x 1·x2=b-2 设方程②的两根为x3，x3则x3+x3=-a
∴x3=- ∵x1+x2+x3=180° ∴-a+(-)=180°
即x3=60
∴这个三角形中必有一个内角为60°
(3)∵x1+x2=2x3=-a
∴方程①的两根中有一根为直角三角形的斜边,设其为x1.
根据题意，得x12-x22=x32，
(x1+x2)(x1-x2)=x32，
4(x1+x2)=-a，
16(a2-4b+8)=a2，
∴
解得
∵x3=-＞0 ∴a＜0 则a=-16 ， b=62
[评注] (1)本题是一道综合性技巧性较强的综合题，解决之要用到绝对值，根的判别式定理，根与系数的关系，三角形的内角和，勾股定理，转化的思想，方程的思想及变换命题等数学知识。题中还多处运用了变换技巧，我们要从中吸取精华，拓展自已的解题思路，提高自已的解题能力。
(2)本题中的两个字母a、b并不是三角形的边，这一点在解题中要牢牢记住。
例6 (1998年江苏省徐州市中考题)一辆三轮摩托车在一条笔直的道路上行驶，车上一位运动员每隔一定时间开枪射靶一次，道路中间站着一位裁判，当摩托车向他驶来时，听见每两次相邻射击相隔5.7s，而当摩托车驶过他身边以后，听见每两次相邻射击相隔6.3s，如果声速为350m/s，那么车上运动员每隔几秒射击一次？摩托车的速度是多少米每秒？
[分析] 这是一道行程问题，问题涉及到行程的两个方面，一是摩托车向裁判员驶来时，时间的变化关系；二是摩托车驶过裁判员身后，相邻两次射击声音的变化关系，搞清了这两个关系，解决本题就不是难事了。
[解] 设运动员每隔xs射击一次，摩托车的速度是ym/s，依题意得
①+②得2x=12，
∴x=6.
把x=6代入①得y=17.5，
∴
答：车上运动员每隔6s射击一次，摩托车的速度是17.5m/s.
[评注] 此为实际应用型的二元二次方程组，难点在理解题意列出方程组，摩托车向裁判驶来时，相邻两次射击的声音传播后一次比前一次近xym，所以少用，当摩托车驶过裁判身边后，相邻两次射击的声音后一次比前一次远xym，所以多用裁判才能听到。此题与物理中声音的传播结合，称得上是一道好题。
“一元二次方程”学习要点
一、本章知识结构
1、知识结构梳理
2、定理公式总结
(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac 。
一、本章知识结构
1、知识结构梳理
2、定理公式总结
(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac 。
* 原载于《教材全程全解同步精讲精练》(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社, 2004年5月。
(4)一元二次方程的根的判别式定理：
△＞0方程有两个不相等的实数根；
△＝0方程有两个相等的实数根；
△＜0方程没有实数根；
△≥0方程有两个实数根。
(5)一元二次方程根与系数的关系定理：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=
推论1：如果方程x2+px+q=0的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.
推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-( x1+x2)x+ x1x2=0
(6)二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。
(7)求一元二次方程两根x1，x2的对称式的值，常用公式：
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
二、数学规律总结
1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。
在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。
2、本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于任何一个一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。
一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。
3、二次三项式ax2+bx+c在实数范围能够分解的条件
b2-4ac≥0
4、一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的条件b2-4ac≥0
三、思想方法总结
1、转化思想
在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：
因式分解 降次
去分母 整式化
代入法 消元
因式分解 降次
转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。
2、方程思想
在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。
方程思想在本章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如的“Ⅱ—Ⅰ”型方程组等。
3、公式化与分类讨论的思想
在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总
希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式S=Vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一元二次方程的求根公式x= 。
可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为△=b2-4ac，当△≥0时，根式有意义，公式才能成立，才能应用；那么，当△＜0时，公式就不能用了。这时，说明什么问题？方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有根吗？不能这样说，因为公式的推导过程已经表明，只有在△≥0时，才能得到求根公式，也就是说，只有△≥0时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。若△＜0时，不能用公式求实数根，也许可以用别的方法求出来。这就提出了一个问题：能否在不解方程的情况下，判断方程是否有实数根？通过仔细分析配方过程，终于弄清了“△”对判别一元二次方程实数根的作用：
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说，记△=b2-4ac，那么：
(1)若△＞0，则方程有不相等的实数根；
(2)若△=0，则方程有两个相等的实数根；
(3)若△＜0，则方程没有实数根。
反之亦然
由于△＞0，△=0，△＜0，是对△值的完全的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根(也是对方程根的情况是完全分类)三种情况一一对应，这就为分类讨论打下了基础。此外，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分情况进行讨论，再根据各情形的知识进行研究探索、求解等等。(前面已举例)
分类讨论是数学中重要的思想方法，我们一定要注意体会该思想方法，积累自己的数学素养。
⑷本章所应用的数学方法主要有：①代入消元法；②因式分解降次法；③换元法；④配方法。
代入消元法和分解降次法主要体现在解二元二次方程组；换元法主要体现在解可化为一元二次方程的分式方程和二次三项式的因式分解；配方法主要体现在利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推导、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用等。
四、解题方法指导
1、观察与分析的思维方法
“观察”和“分析”是解数学题中广泛使用的基本思维方式，无论是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程组，都离不开深入地观察和分析。
(1)解一元二次方程的观察和分析
①解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，应选用直接开平方法，先根据平方根意义得x-m=±，再移项，得方程的根为x1=m+ , x2=m- .
②解形如(x-m)(x-n)=0的方程，可根据“几个因式的积为零，那么这几个因式中至少有一个因式为零”的情况，则可能化为x+m=0或x-n=0得到方程的根为x1=m, x2=n 。
③除了上述两种形式的非一般式的一元二次方程，一般应先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后再解，对于容易分解的，用因式分解法解，对于不易因式分解的，再用公式法解。
例如 选用适当的方法解下列方程
⑴(x+2)2=4 , ⑵3(x+1)(-x)=0 , ⑶3x(x-)=1 , ⑷2x2+3x(1-x)+2=0.
分析：通过对提供的方程进行观察和分析易得到下述结论：⑴用直接开平方法较简单；⑵是两个因式的积为0，可直接写出x1=-1 , x2=；⑶将之化为一般形式为3x2-2x-1=0，则可用因式分解法解较简单；⑷化为一般形式为x2-3x-2=0，因不易分解、故可用公式法解较合适。
(2)解分式方程的观察与分析
“转化”是解分式方程以及高次方程等比较复杂的方程基本思想。那么，如何实现转化呢？这就要求我们根据提供的分式方程的式结构进行观察和分析，寻求出比较恰当的求解方法。
将分式方程转化为整式方程的方法是“去分母法”，实施这一方法的操作流程是将原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。但是，经过转化后的方程有时会是一个高次方程，到目前为止，我们还没有找到解高次方程的一般方法，因此，可根据分式方程的“式结构”特征，选用特殊的解法——换元法。在使用换元法解分式方程时，要注意有些方程换元的特征比较明显，有些却不明显，需要做适当的变形，方可显露出换元的特征，如下列方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷2(x2+)-9(x+)+14=0
分析：上述方程中，⑴和⑵具备直接换元的条件，其中⑴设y=可转化为y2-y-2=0；⑵设 y=，可转化为y+；
⑶要将方程中3x2+9x转化为3(x2+3x)，设y=x2+3x，则原方程可变为3y-；⑷要注意把握x2+与x+的关系，若设y=x+，则y2=x2+，∴x2+，则原方程变为：2(y2-2)+y+14=0.
(3)解二元二次方程组的观察与分析
我们所学习的二元二次方程组可分为两种类型：第一类型即“Ⅱ—Ⅰ”型，指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“代入消元法”，第二类型即“Ⅱ—Ⅱ”型，指的是由两个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“分解降次法”，通过分解降次，可将第二类型转化为第一类型，再用代入消元法来解。因此，我们在解二元二次方程组时，一定要认真观察和分析方程组中每个方程的类型和特征，采用“对症下药”的解题策略，寻求最适宜的求解方法。例如下列方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
分析：⑴属“Ⅱ—Ⅰ”自然用代入消元法来解；⑵属“Ⅱ—Ⅰ”则可用代入消元法来解，但是⑵中的第1个方程可进行因式分解，则又可用“分解降次”法来解(要注意“Ⅱ—Ⅰ”型有时也可用“分解降次”法来求解；⑶属“Ⅱ—Ⅱ”型，则可用“分解降次”，当然也可用两边开平方法将之“裂变”为四个二元一次方程组来解；⑷属“Ⅱ—Ⅱ”型，但只有第一个方程能用因式分解，则只可用“分解降次”法，将之“裂变”为两个“Ⅱ—Ⅰ”来解。
2、分析与构造的思维方法
对于形如 的方程组，可用“韦达定理法”来解，即把x、y看作一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个一元二次方程就可求得方程组的解。其策略是根据“式结构”巧妙地构造出一个一元二次方程，然后通过解这个一元二次方程的方法达到解方程组的目的。
利用韦达定理解某些具有上述特殊形式的二元二次方程组，能够使问题化难为易，化繁为简，观察下列方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
这些方程组都可以用韦达定理法求解，有的可直接构造方程，有的需要做适当的变形后，再构造出一元二次方程。
如，方程组⑴可直接构造以x、y为根的一元二次方程z2-7z+12=0；方程组⑵先变形为 然后构造出以x和-y为根的一元二次方程z2-11z+18=0；方程组⑶，先变形为再构造以x、y为根的方程z2-17z+60=0；方程组⑷，先变形为 再构造以x2、y2 为根的方程z2-5z+4=0,或者变形为或然后分别构造以x、y为根的方程z2-3z+2=0.或z2+3z+2=0.
3、分析与综合的思维方法
“分析”和“综合”是两种基本的思维方法，在数学中有着特别重要的作用。
“分析”就是把事物的整体分解成若干个组成部分，并对各个部分分别进行考察；“综合”就是把事物的各个部分联结成一个整体，并从整体上加以研究，“先分析后综合”这是人们认识事物的一条基本途径，也是解数学题的一种常用的手段。
数学综合题，可以看成是由几个互联相关的“小题目”组成的一个“大题目”。解数学综合题时，应当先对综合题进行“分析”——把它分解成几个互相关联的“小题目”，并逐一解答这些“小题目”，再把“分析”所得的结果“综合”起来，从而求得综合题的答案。例如：(2003·济南中考)已知方程组 的两个解为且x1,x2是两个不相等的正数。⑴求a的取值范围;(2)若x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求a的值。
分析：这是一道既涉及到方程组，又涉及到一元二次方程根的判别式，根与系数关系的综合题，它可以分解成如下3个“小题目”：
⑴方程组可转化为一个什么样的一元二次方程？
⑵若x1，x2为转化成的一元二次方程的两根，且x1≠x2，求待定参数a的范围；
⑶若x1，x2为转化为一元二次方程的两根，且 x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求待定参数a的值。
从上例可以看出，解数学综合题的过程，通常也是一个“先分析后综合”的过程。
五、综合题例分析
例1 (2003·北京市中考题)已知：关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2,且(x1-x2)2=16,如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
分析：首先根据x2-2mx+3m=0的两根x1，x2满足(x1-x2)2=16的条件，将参数m的值求出 ,然后根据m的值，将两方程的根分别求出来，最后作出判断。
[解] ∵x1， x2是方程x2-2mx+3m=0的两个实数根，
∴x1+x2=2m，x1·x2=3m
∵(x1-x2)2=16 ∴(x1+x2)2-4x1x2=16
∴4m2-12m=16解得m1=-1,m2=4
⑴当m=-1时，
方程x2-2mx+3m=0为x2+2x-3=0，则x1=-3，x2=1，
方程x2-2mx+6m-9=0为x2+2x-15=0，则x1= -5,x2=3
∵-5，3不在-3和1之间 ∴m=-1不合题意，舍去。
⑵当m=4时，方程x2-2mx+3m=0为x2-8x+12=0
则x1=2，x2=6
方程x2-2mx+6m-9=0为x2-8x+15=0
则x1’=3 x2’=5
∵2＜3＜5＜6
即x1＜x1’＜x2’＜x2 ∴m=4 满足题意
综合(1)和(2)，m=4
[评注] 本题事实上就是根据题中给出的一个条件，运用根与系数的关系，求参数值的问题，不过本题已将该题型拓展延伸为判断两个方程根的大小范围问题了。因此，我们在审题中，一定要有“慧眼识真金”的本领，善于将提供的“新”问题，通过
分析、类比、综合等思维方式，转化到我们已经会解决的“老”问题上来。
例2 已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0
（1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另外两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。
[分析] （1）要证一个一元二次方程有两个实根，只需要证明判别式△≥0即可；（2）有关等腰三角形问题，若未指明腰和底边时，要进行讨论，因此，本题对a是等腰三角形的底边还是等腰三角形的一腰要进行分类讨论。
[解] （1）△=[-(2k+1)]2-4×4(k-)
=(2k-3)2
∵不论k取何值时，(2k-3)2≥0，即△≥0。
∴不论k取何值时，这个方程有两个实数根
⑵①当a是等腰三角形底边时，这时b、c即为等腰三角形两腰，则b=c
∴方程有两个相等的实数根。
则△=(2k-3)2=0 k=
原方程即为x2-4x+4=0 . b=c=2
当b=c=2时，b+c=2+2=4=a 这与“三角形中两边之和大于第三边”相矛盾，故a不可能是此等腰三角形的底边
②当a是等腰三角形的腰时，这时，b、c中至少有一个值为4，把x=4代入原方程中，16-4(2k+1)+4(k-)=0 k=，则原方程为x2-6x+8=0 两根为x1=2，x2=4，即b、c两边一边为2，另
一边为4，符合三角形三边之周关系，这时△ABC的周长为a+b+c=4+(2+4)=10
[评注]
⑴要判断二次三项式的值的正负性，通常采用配方法，利用完全平方式的非负性来确定。
⑵由于本题中的a、b、c的值是三角形三边的长，必须满面足“两边之和大于第三边”否则就不能构成三角形的三边。
⑶在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类讨论法解决问题。
例3 已知关于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的两个实数根为x1，x2.
⑴若此方程的两根之和不大于两根之积，求p的值。
⑵若p=-1，求x13+2x22+2x2的值。
[分析] ⑴利用根与系数关系建立关于p的不等式，由完全平方式的非负性，求出p的值。注意，最后一定要注意判别式的值为非负数。
⑵首先利用根的定义，对x13进行降次处理，把所求代数式转化成关于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。
[解] ⑴∵x1，x2为方程两根
∴x1+x2=-2p x1·x2=-p2-1
据题意，得x1+x2≤x1x2
即-2p≤-p2-1
∴p2-2p+1≤0
(p-1)2≤0 ，则p=1
当p=1时，原方程为x2+2x-2=0 △=12＞0
∴所求p的值为1.
⑵当p=-1时，方程x2+2px-p2-1=0。为x2-2x-2=0，x1、x2为方程两负数根。
由方程根的意义有：x12-2x1-2=0 即x12=2x1+2
由根与系数关系有：x1+x2=2, x1·x2=-2
则x13+2x22+2x2=x1·x12+2x22+2x2
=x1(2x1+2)+2x22+2x2
=2x21+2x1+2x22+2x2
=2(x12+x22+x1+x2)
=2[(x1+x2)2-2x1x2+(x1+x2)]
=2×(4+4+2)
=20
[评注] 求关于一元二次方程的两根的代数式的值，如果代数式是关于两根的对称式，先把这个代数式通过变形化成两根之和及两根之积的形式，再把由根与系数的关系所得的两根之和及两根之积的值代入即可；如果代数式不是两根的对称式，则由根的定义，通过对其中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次，直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮换对称式转化成换对称式来解决，这也体现了“转化与化解”的数学思想方法。
例4 已知a、b、c是△ABC的三边，a、b的值是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两个实根，且满足25asinA=9c
(1)求证△ABC是直角三角形；
(2)求a、b、c三边的长。
[分析] (1)题中只给出了a、b的长是已知方程的两根。因此，根据根与系数的关系，通过探求出三角形三边a、b、c的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明△ABC为直角三角形。
(2)在(1)已证明了△ABC为直角三角形的前提下，则SinA只可以用三角函数来表示边间的关系，根据边间关系及根与系数的关系，可求出a、b、c的值。
[解] (1)∵a、b是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两根
∴a+b=4+c ab=4C+8
∵a2+b2=(a+b)2-2ab=(4+c)2-2(4c+8)=c2
即 a2+b2=c2 ∴△ABC为直角三角形
(2)∵25aSinA=9c 且SinA=
∴25a·=9c ， =
设a=3k c=5k，则b=
将a=3k ， b=4k ， c=5k代入a+b=4+ck
3k+4k=4+5k ∴k=2
∴a=6 ， b=8 ， c=10。
[评注] (1)确定一个三角形为直角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题由于没有提供角的关系，虽然提供了三角函数，但三角函数关系式也只能在直角三角形中使用(本题本身就是要我们证明此三角形为直角三角形)，故本题若选择从角的方面来判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三角形。
(2)在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转化成纯边(或纯角)的关系式来解决问题，本题(2)要求的是三角形的三边，则我们可以通过三角函数的关系式，将问题转化纯边来解决。在解题过程中，遇有边边之比的问题，则可引进比例系数k这个参
数，要求三边，则即求比例系数k。
例5 若a、b是实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不相等的实根。
(1)求证：a2-4b-8=0
(2)若该方程三个不相等实根恰好为一个三角形内角的度数， 求证该三角形必有一内角是60°。
(3)若该方程三个根恰为一直角三角形三边，求a、b。
[分析] (1)由绝对值概念可得两个一元二次方程，有三个不相等的实数根，说明得到的两个方程中其中有一个方程有两个相等的实数根，或得到的两个方程中，必有一个公共的实根。
(2)由三角形内角之和为180°和根与系数的关系可求得必有一根为60。
(3)先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根，再由勾股定理建立方程来求解。
[解] (1)证明：∵|x2+ax+b|=2
∴x2+ax+b-2=0 ① x2+ax+b+2=0 ②
显然方程①和②不可能有一公根，则方程①和②必有一个方程有两个相等的实数根。
△1=a2-4b+8 △2=a2-4b-8
∵△1＞△2 ∴△2=0
即a2-4b-8=0
(2)设方程①的两根为x 1，x2，则x 1+x2=-a， x 1·x2=b-2 设方程②的两根为x3，x3则x3+x3=-a
∴x3=- ∵x1+x2+x3=180° ∴-a+(-)=180°
即x3=60
∴这个三角形中必有一个内角为60°
(3)∵x1+x2=2x3=-a
∴方程①的两根中有一根为直角三角形的斜边,设其为x1.
根据题意，得x12-x22=x32，
(x1+x2)(x1-x2)=x32，
4(x1+x2)=-a，
16(a2-4b+8)=a2，
∴
解得
∵x3=-＞0 ∴a＜0 则a=-16 ， b=62
[评注] (1)本题是一道综合性技巧性较强的综合题，解决之要用到绝对值，根的判别式定理，根与系数的关系，三角形的内角和，勾股定理，转化的思想，方程的思想及变换命题等数学知识。题中还多处运用了变换技巧，我们要从中吸取精华，拓展自已的解题思路，提高自已的解题能力。
(2)本题中的两个字母a、b并不是三角形的边，这一点在解题中要牢牢记住。
例6 (1998年江苏省徐州市中考题)一辆三轮摩托车在一条笔直的道路上行驶，车上一位运动员每隔一定时间开枪射靶一次，道路中间站着一位裁判，当摩托车向他驶来时，听见每两次相邻射击相隔5.7s，而当摩托车驶过他身边以后，听见每两次相邻射击相隔6.3s，如果声速为350m/s，那么车上运动员每隔几秒射击一次？摩托车的速度是多少米每秒？
[分析] 这是一道行程问题，问题涉及到行程的两个方面，一是摩托车向裁判员驶来时，时间的变化关系；二是摩托车驶过裁判员身后，相邻两次射击声音的变化关系，搞清了这两个关系，解决本题就不是难事了。
[解] 设运动员每隔xs射击一次，摩托车的速度是ym/s，依题意得
①+②得2x=12，
∴x=6.
把x=6代入①得y=17.5，
∴
答：车上运动员每隔6s射击一次，摩托车的速度是17.5m/s.
[评注] 此为实际应用型的二元二次方程组，难点在理解题意列出方程组，摩托车向裁判驶来时，相邻两次射击的声音传播后一次比前一次近xym，所以少用，当摩托车驶过裁判身边后，相邻两次射击的声音后一次比前一次远xym，所以多用裁判才能听到。此题与物理中声音的传播结合，称得上是一道好题。
“一元二次方程”学习要点
一、本章知识结构
1、知识结构梳理
2、定理公式总结
(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac 。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2013-11-12
怎样学好数学之一
1、学数学和学其他课一样,上课要注意听讲,上课或下课要预习和复习,把每个知识点学透彻.但各门课程都有不同点：比如语文课今天我没上，明天上完课再补也可以，而数学是一环套一环的，比如：学小数加减混合运算，如果不先学小数加法和减法就不会，所以每个知识点一定要学透彻。
2、同学们最怕考试做错题，做错了就要分析，总结。我总结了一下丢分的四种情况：一种是会做，但粗心，做错了。第二种是一时想不出怎么做，事后就会做了。第三种是时间不够，多给一点时间思考，也许就会做了。第四种是绝对做不出来，让你坐在那里一万年，你也做不出来。解决方法有这样几点：一，今后要细心，千万要细心。二，今后要多做多练，所谓“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”。三，要会用时间！要快！但是，快，容易出错！怎么才能快？只有一条路：多练！第四种最可怕！这里面有两种情况。一种是你不会做，是因为你没有学好，做不出来；另一种情况是，你学好了，但缺少举一反三和综合能力，做不出来。大部分同学问题出在第二种。老师出这样的题目是有道理的。大家绝对不会做的题目，老师是不会出的，老师是在考大家举一反三，综合能力。你脑子要多绕几个弯子，多想几个为什么，就能做出来。
3、有这么一句话：兴趣是最好的老师。大家先把喜爱数学的兴趣培养出来，就能学好。
如何学好数学之二
学好数学的方法其实跟读其他科目没太大差别，流程上可区分为六个步骤：
1. 预习
2. 专心听讲
3. 课后练习
4. 测验
5. 侦错、补强
6. 回想
以下就每一个步骤提出应注意事项，提供同学们参考。
1. 预 习 : 在课前把老师即将教授的单元内容浏览一次，并留意不了解的部份。
2. 专心听讲:
(1)新的课程开始有很多新的名词定义或新的观念想法，老师的说明讲解绝对比同学们自己看书更清楚，务必用心听，切勿自作聪明而自误。 若老师讲到你早先预习时不了解的那部份，你就要特别注意。 有些同学听老师讲解的内容较简单，便以为他全会了，然后分心去做别的事，殊不知漏听了最精彩最重要的几句话，那几句话或许便是日后测验时答错的关键所在。
(2)上课时一面听讲就要一面把重点背下来。定义、定理、公式等重点，上课时就要用心记忆，如此，当老师举例时才听得懂老师要阐述的要义。
待回家后只需花很短的时间，便能将今日所教的课程复习完毕。事半而功倍。只可惜大多数同学上课像看电影一般，轻松地欣赏老师表演，下了课什麼都不记得，白白浪费一节课，真可惜。
3. 课后练习 :
(1) 整理重点
有数学课的当天晚上，要把当天教的内容整理完毕，定义、定理、公式该背的一定要背熟，有些同学以为数学著重推理，不必死背，所以什麼都不背，这观念并不正确。一般所谓不死背，指的是不死背解法，但是基本的定义、定理、公式是我们解题的工具，没有记住这些，解题时将不能活用他们，好比医师若不将所有的医学知识、用药知识熟记心中，如何在第一时间救人。很多同学数学考不好，就是没有把定义认识清楚，也没有把一些重要定理、公式”完整地〃背熟。
(2) 适当练习
重点整理完后，要适当练习。先将老师上课时讲解过的例题做一次，然后做课本习题，行有余力，再做参考书或任课老师所发的补充试题。遇有难题一时解不出，可先略过，以免浪费时间，待闲暇时再作挑战，若仍解不出再与同学或老师讨论。
(3) 练习时一定要亲自动手演算。很多同学常会在考试时解题解到一半，就接不下去，分析其原因就是他做练习时是用看的，很多关键步骤忽略掉了。
4. 测验 :
(1) 考前要把考试范围内的重点再整理一次，老师特别提示的重要题型一定要注意。
(2) 考试时，会做的题目一定要做对，常计算错误的同学，尽量把计算速度放慢， 移项以及加减乘除都要小心处理，少使用“心算” 。
(3) 考试时，我们的目的是要得高分，而不是作学术研究，所以遇到较难的题目不要 硬干，可先跳过，等到试卷中会做的题目都做完后，再利用剩下的时间挑战难题，如此便能将实力完全表现出来，达到最完美的演出。
(4) 考试时，容易紧张的同学，有两个可能的原因：
a. 准备不够充分，以致缺乏信心。这种人要加强试前的准备。
b. 对得分预期太高，万一遇到几个难题解不出来，心思不能集中，造成分数更低。这种人必须调整心态，不要预期太高。
5. 侦错、补强 :
测验后，不论分数高低，要将做错的题目再订正一次，务必找出错误处，修正观念，如此才能将该单元学的更好。
6. 回想：
一个单元学完后，同学们要从头到尾把整个章节的重点内容回想一遍，特别注意标题，一般而言，每个小节的标题就是该小节的主题，也是最重要的。将主题重点回想一遍，才能完整了解我们在学些什麼东西。（鄙视复制我答案的）本回答被网友采纳
1、学数学和学其他课一样,上课要注意听讲,上课或下课要预习和复习,把每个知识点学透彻.但各门课程都有不同点：比如语文课今天我没上，明天上完课再补也可以，而数学是一环套一环的，比如：学小数加减混合运算，如果不先学小数加法和减法就不会，所以每个知识点一定要学透彻。
2、同学们最怕考试做错题，做错了就要分析，总结。我总结了一下丢分的四种情况：一种是会做，但粗心，做错了。第二种是一时想不出怎么做，事后就会做了。第三种是时间不够，多给一点时间思考，也许就会做了。第四种是绝对做不出来，让你坐在那里一万年，你也做不出来。解决方法有这样几点：一，今后要细心，千万要细心。二，今后要多做多练，所谓“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”。三，要会用时间！要快！但是，快，容易出错！怎么才能快？只有一条路：多练！第四种最可怕！这里面有两种情况。一种是你不会做，是因为你没有学好，做不出来；另一种情况是，你学好了，但缺少举一反三和综合能力，做不出来。大部分同学问题出在第二种。老师出这样的题目是有道理的。大家绝对不会做的题目，老师是不会出的，老师是在考大家举一反三，综合能力。你脑子要多绕几个弯子，多想几个为什么，就能做出来。
3、有这么一句话：兴趣是最好的老师。大家先把喜爱数学的兴趣培养出来，就能学好。
如何学好数学之二
学好数学的方法其实跟读其他科目没太大差别，流程上可区分为六个步骤：
1. 预习
2. 专心听讲
3. 课后练习
4. 测验
5. 侦错、补强
6. 回想
以下就每一个步骤提出应注意事项，提供同学们参考。
1. 预 习 : 在课前把老师即将教授的单元内容浏览一次，并留意不了解的部份。
2. 专心听讲:
(1)新的课程开始有很多新的名词定义或新的观念想法，老师的说明讲解绝对比同学们自己看书更清楚，务必用心听，切勿自作聪明而自误。 若老师讲到你早先预习时不了解的那部份，你就要特别注意。 有些同学听老师讲解的内容较简单，便以为他全会了，然后分心去做别的事，殊不知漏听了最精彩最重要的几句话，那几句话或许便是日后测验时答错的关键所在。
(2)上课时一面听讲就要一面把重点背下来。定义、定理、公式等重点，上课时就要用心记忆，如此，当老师举例时才听得懂老师要阐述的要义。
待回家后只需花很短的时间，便能将今日所教的课程复习完毕。事半而功倍。只可惜大多数同学上课像看电影一般，轻松地欣赏老师表演，下了课什麼都不记得，白白浪费一节课，真可惜。
3. 课后练习 :
(1) 整理重点
有数学课的当天晚上，要把当天教的内容整理完毕，定义、定理、公式该背的一定要背熟，有些同学以为数学著重推理，不必死背，所以什麼都不背，这观念并不正确。一般所谓不死背，指的是不死背解法，但是基本的定义、定理、公式是我们解题的工具，没有记住这些，解题时将不能活用他们，好比医师若不将所有的医学知识、用药知识熟记心中，如何在第一时间救人。很多同学数学考不好，就是没有把定义认识清楚，也没有把一些重要定理、公式”完整地〃背熟。
(2) 适当练习
重点整理完后，要适当练习。先将老师上课时讲解过的例题做一次，然后做课本习题，行有余力，再做参考书或任课老师所发的补充试题。遇有难题一时解不出，可先略过，以免浪费时间，待闲暇时再作挑战，若仍解不出再与同学或老师讨论。
(3) 练习时一定要亲自动手演算。很多同学常会在考试时解题解到一半，就接不下去，分析其原因就是他做练习时是用看的，很多关键步骤忽略掉了。
4. 测验 :
(1) 考前要把考试范围内的重点再整理一次，老师特别提示的重要题型一定要注意。
(2) 考试时，会做的题目一定要做对，常计算错误的同学，尽量把计算速度放慢， 移项以及加减乘除都要小心处理，少使用“心算” 。
(3) 考试时，我们的目的是要得高分，而不是作学术研究，所以遇到较难的题目不要 硬干，可先跳过，等到试卷中会做的题目都做完后，再利用剩下的时间挑战难题，如此便能将实力完全表现出来，达到最完美的演出。
(4) 考试时，容易紧张的同学，有两个可能的原因：
a. 准备不够充分，以致缺乏信心。这种人要加强试前的准备。
b. 对得分预期太高，万一遇到几个难题解不出来，心思不能集中，造成分数更低。这种人必须调整心态，不要预期太高。
5. 侦错、补强 :
测验后，不论分数高低，要将做错的题目再订正一次，务必找出错误处，修正观念，如此才能将该单元学的更好。
6. 回想：
一个单元学完后，同学们要从头到尾把整个章节的重点内容回想一遍，特别注意标题，一般而言，每个小节的标题就是该小节的主题，也是最重要的。将主题重点回想一遍，才能完整了解我们在学些什麼东西。（鄙视复制我答案的）本回答被网友采纳
第2个回答 2013-11-12
上课好好听，下课多复习。如果有时间多做一些有关此类的题目！！
第3个回答 2013-11-12
仔细看嘛，相信你可以看懂得
ax2+bx+c=0
利用因式分解法，配方法，十字相乘法，公式法都可以解决
ax2+bx+c=0
利用因式分解法，配方法，十字相乘法，公式法都可以解决
如何轻松掌握一元二次方程?
3. 多做练习：通过大量的练习，可以加深对一元二次方程的理解，提高解题速度和准确率。可以从简单的题目开始，逐步增加难度，不断挑战自己。4. 总结规律：在做题过程中，要注意总结一元二次方程的解题规律，如判别式的作用、根与系数的关系等。这些规律有助于我们更好地理解和解决一元二次方程问题。5...
一元二次方程学不会怎么办?
4. 多做练习题是提高一元二次方程解题能力的关键。你可以从课本、参考书和网络资源中寻找大量的一元二次方程练习题，通过不断地练习，来提高自己的解题速度和准确率。5. 如果你在学习过程中遇到了困难，不要害怕向老师和同学请教。他们可能会给你提供一些很好的建议和帮助，让你更快地掌握一元二次方...
一元二次方程配方如何学习?
aeq0。这是学习配方前必须清楚的基本点。判别式：了解判别式 Δ = 𝑏2 −4 𝑎𝑐Δ=b 2 −4ac 的概念及其对方程根的影响（即判别方程根的性质，如是否有实根、重根等）。二、掌握配方的目的与原理 目的：配方的主要目的是将一元二次方程转化为完全平方的形式...
初三的数学那么难。一元二次方程究竟怎样做?
我帮你总结了一下，总共有这几种方法：1、直接开平方法：用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n+m . 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1...
哪些方法可以提高解一元二次方程的速度?
6.使用计算器或计算机软件：在解决较复杂的一元二次方程时，可以使用计算器或计算机软件进行计算，提高解题速度。7.多做练习题：通过大量的练习，熟悉各种类型的一元二次方程的解法和特点，提高解题的速度和准确性。总之，提高解一元二次方程的速度需要不断学习和实践，掌握基本方法和技巧，并结合实际情况...
如何解一元二次方程?
一元二次方程的解法 一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。解一元二次方程的基本...
初三数学,一元二次方程知识点
1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，xa...
为什么说一元二次方程是学好二次函数的基础,该怎么学
1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a22ab+b2=(ab...
一元二次方程怎么解
一元二次方程四中解法。一、公式法。二、配方法。三、直接开平方法。四、因式分解法。公式法1先判断△=b_-4ac，若△<0原方程无实根；2若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b\/（2a）；3若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））\/（2a）。配方法。先把常数c移到方程右边得：aX_...
怎样快速学会一元2次方程?
学好一元二次方程，重要的是要学会背公式。除了最主要的求根公式你要背上外，就是要学会总结不同方程解决形式。形如x^2+2bx+b^2=0，你要能熟练的将其变为（x+b）^2=0这样的形式；形如x^2+(a+b)x+ab=0的形式，你要熟练将其变为（x+a)(x+b)=0；再高阶的，二次项前面也有系数的...
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