关于不定积分的问题

求:
∫e^(2lnu)du
∫(tany)^(-1)/(1+y^2)dy
∫(lnvdv)/v
∫cosx/[1+(sinx)^2]dx
∫dy/y[1+(lny)^2]

定积分确切的说是一个数,或者说是关于积分上下限的二元函数,也可以成为二元运算,可以这样理解∫[a,b]f(x)dx=a*b,其中*即为积分运算(可以类比简单的加减运算,只不过这时定义的法则不一样,加减运算是把二维空间的点映射到一维空间上一个确定的点,定积分也一样,只不过二者的法则不一样); 不定积分也可以看成是一种运算,但最后的结果不是一个数,而是一类函数的集合. 对于可积函数(原函数是初等函数)存在一个非常美妙的公式 ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a) 其中F'(x)=f(x)或∫f(x)dx=F(x)+c 最后附上一句,积分这一章难度较大,要学好这一章首先要把微分运算弄得很清楚,同时常用的公式也要记.而且有些定积分是不能通过牛顿-莱布尼茨公式计算的,如∫[0,∞]sinx/xdx=π/2(用留数算的),∫[0,∞]e^(-x^2)dx=√2/2(用二重积分极坐标代换算的),以上两种积分的原函数都不能用初等函数表示,因此也就不能用牛顿-莱布尼茨公式计算,当你不知道这些的时候可能花一年的功夫也没有丝毫进展.我当年就是深有感触的,我是在高一入学前的暑假自学的微积分,高一的时候遇到一个定积分∫[0,π/2]dx/√(sinx),开始不知道这是一个超越积分,所以高一只要有空余时间我就会计算这个定积分,直到高二学完伽马函数后才计算出其值为(Γ(1/4))^2/(2√(2π)),并由此得出不定积分∫dx/√(sinx)也是超越积分.常见的超越积分还有很多,尤其像那种三角函数带根号的,多半都是超越的,自学时要注意。希望可以帮到你。
补充:
这两者是从不同角度定义的不同概念。 不定积分是一个函数的全体原函数,是一个函数族(函数的集合); 定积分是与函数有关的一个和式的极限,是一个实数。 从概念而言,这两者是完全不同的、毫无关系的,或者说是风马牛不相及的。 但是牛顿-莱布尼兹公式却把它们联系起来,这就是这两位先驱者的伟大之处,虽然在今人看起来并没有多少深奥,倒反而有人会把这两个概念混淆在一起。如果当初这两个概念也那么容易相混的话,大概等不到牛顿出生,微积分早被创立了。 牛顿-莱布尼兹公式告诉我们,定积分那个极限,等于被积函数的原函数在积分区间右端点的值减去左端点的值,定积分也就与原函数有了联系,定积分之所以叫定积分大概也是因为这个原因。但是取这个名也有副作用,因为不定积分比定积分只多了一个“不”字,一些人就认为它们是一样的或者是稍有区别的,这大概也是今天这个问题被提出的原因。 建议学习高等数学的同学们,不要问不定积分与定积分有什么区别,而是把它们作为两个完全不同的概念分别学习好,再也不要搞混在一起。
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第1个回答  2019-06-09
∫e^(x^1/2)
dx
令x=y^2,然后原式=∫2ye^y
dy=2ye^y-2∫e^ydy=2(y-1)e^y,然后把y换回x去就行了。
∫(tanx)^7*(secx)^4
dx
化成1/2*∫((sinx)^2)^3/(1-(sinx)^2)^6
d((sinx)^2)
然后换元,(sinx)^2=y,然后1-y=z,再然后句非常容易做了,网上写式子不方便,自己逐项积分,一算就出来。
∫arcsin(2x)
dx
分步积分吧~~真的非常容易∫arcsin(2x)
dx=xarcsin(2x)-2x^2/(1-4x^2)^0.5然后直接就出答案了~~
第2个回答  2020-02-02

对数恒等式。不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力。e^(2lnx)=e^(Ln(x^2))=x平方。。那么∫x平方dx=(x立方)/3 +c常数。

简单的不定积分问题
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx...

在解不定积分时,有哪些常见的错误需要注意避免?
1.符号错误:在计算过程中,很容易出现符号错误,例如将正负号弄反或混淆。为了避免这种错误,应该仔细检查每一步的符号,并确保它们与问题的要求一致。2.常数项遗漏:在求解不定积分时,有时候会忽略掉常数项。这是因为在求导过程中,常数项会被省略。为了避免这种错误,应该在求导后检查是否有常数项需...

在不定积分的时候。什么情况用倒代换?
一般出现分式,且分子分母次数不一致,分子次数低、分母次数高时,考虑使用倒代换。对于不定积分问题来说,当被积函数是分母次数较高的有理函数或根式有理式时,使用倒代换也许可以使被积函数分母次数变得略低。注意,到计算最后必须把t=1\/x作回代。关于这个倒代换,很多在这块没有达成一致,因为大部分...

如何解不定积分的存在性问题。
连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

不定积分的拆分问题?
不定积分拆分母的x的最高次数一致,则设为a;如果不一致,则分母x次数比较高的那个的分子设为ax+b。当分母是ax² + bx + c等等这样的多项式时,分子设Ax + B等等这样的多项式,次数比分母少1次。当分母是(ax + b)³时,设A\/(ax + b)³ + B\/(ax + b)² + C...

不定积分的题为什么要加绝对值?
就是该面积的负数(-lnx+C)。到这里基本上已经回答答主第二个问题了。如果还是觉得不应该有负号。换一种思路:首先承认1\/x的不定积分是ln|x|+C 当x大于0时,1\/x的不定积分是lnx+C 当x小于0时,1\/x的不定积分是ln(-x)+C 当x大于0,∫1\/(-x)dx=∫1\/td(-t)=-lnx+C ...

如何应用不定积分解决实际问题?
不定积分是微积分的一个重要分支,它在解决实际问题中有着广泛的应用。以下是一些应用不定积分解决实际问题的方法:1.求面积和体积:不定积分可以用来求解一些几何图形的面积和体积,例如圆、椭圆、抛物线等。通过将这些图形划分为若干个小区域,然后对每个小区域的函数进行积分,就可以得到整个图形的面积或...

高数不定积分
拿到不定积分问题:1.先观察被积函数中函数的类型,有没有根号,或者反三角函数等;2.像本题,有个明显函数是反三角函数;3.当被积函数中出现不同类型函数的乘积时,首选是分部积分法,选择u的顺序:反三角函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数;4.这里选择arcsinx选做u,其他的去凑dv;5....

不定积分的换元问题!
不定积分的公式:1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数 2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]\/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1 3、∫ 1\/x dx = ln|x| + C 4、∫ a^x dx = (1\/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1 5、∫ e^x dx = e^x + C 6、∫ ...

不定积分求解问题
不定积分的求解步骤可以分为以下几步:1. 观察被积函数,确定是否可以使用基本积分公式进行求解。基本积分公式包括幂函数积分公式、指数函数积分公式、三角函数积分公式和反三角函数积分公式等。2. 如果无法使用基本积分公式进行求解,可以尝试进行一些代数化简或者函数分解。常见的方法包括分式分解、配方法等。...

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