线性代数问题 关于矩阵的迹相关结论的证明

Question

原版题目是日语和英语版的，见图。只有第四问不会，求大神帮忙解答一下第四问的答案，前三问都会，其结论可以直接用。题目翻译后如下：以下所有内容均只考虑n*n的实矩阵。将矩阵A对角元素之和称为矩阵的迹，记作Tr(A)。回答下列问题。(1)对于任意矩阵A与B，证明Tr(AB)=Tr(BA)(2)对于任意矩阵A与任意正则矩阵，证明Tr((B^(-1))AB)=Tr(A)(3)对于特征值均非负的对称矩阵A，证明Tr(A^2)<=Tr(A)^2(4)对于任意两个对称矩阵A和B，证明Tr(AB)^2<=Tr(A^2)Tr(B^2)原题摘自日本九州大学平成26年システム情报科学府修士入学试験一般入试问题ー线形代数

Answer 1

既然你懂点线性代数, 我就简单说一下.
第四个其实就是Cauchy-Schwarz不等式呀!!
(Tr(AB))^2 = (\sum a_ij*b_ij)^2
你把A的所有元素放到一个向量里, 把B的所有元素放到一个向量里
这个式子就是两个向量的内积
右边就是这个向量的长度乘积