高等数学中二重积分关于对称性问题疑惑；谢谢

Question

在二重积分的部分，如果积分区域D关于x或y对称，则需要看被积函数是否分别是y或者x的奇偶函数；接下来的就是我的疑问：第一：如果积分区域D关于y=x对称，则有∫∫Df(x,y)=∫∫Df(y,x)，我不知道为什么，它也没有看f(x,y)=f(y,x)是否相等啊，就直接让两个积分相等了,请问为什么？第二：在第一问基础上：如果将积分区域D沿着y=x分成两部分D1,D2，为什么∫∫D1f(x,y)=∫∫D2f(y,x),谢谢，我希望能理解透彻 ，不然做题总是一知半解的；谢谢

Answer 1

第一、你说的第一种情况叫做：轮换对称性；
轮换对称性的使用条件是，将坐标系互换，原积分区域不变，所以当y=x对称时，你可以试试把x，y互换，实质上积分区域是没变的，只是坐标轴的名字改了。
第二、判断两个积分相等不相等，从两个方面入手
1）首先观察，可以通过简单的观察找出积分区域对应相等的两个区域。（仅仅是区域相等，非积分值相等）

2）然后再两个区域里边取对应点，比如你这2个区域是关于x=y对称的，那么可以在第一个区域里取点P1(1,2)第二个区域里取P2(2,1)，取完之后仅仅比较被积函数，如果相等。则可以确定最终的积分值相等。

Answer 2

什么叫关于y=x对称？难道不就是说f(x,y)=f(y,x)么？楼主对所谓的对称隐含的意思还不明白啊

Answer 3

答一：∫∫Df(x,y)=∫∫Df(y,x) 这个表示的事面积，面积当然不变，f(x,y)=f(y,x)表示的事特殊位置，不一定相等。
答二：沿着y=x分成两部分表示关于原点对称，区间的y和x都是相等的，与积分顺序无关。