高中数学 函数 求高手解答 谢谢！

Question

已知函数f(x)=alnx+1/2x^2 (a>0)若对任意两个不等的正实数x1,x2 都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>2恒成立 则a的取值范围是？请问用构建新函数的方法怎么解？虽然只是一道填空题 但是希望能详细解释一下，谢谢！

Answer 1

Answer 2

解：
[f(x1)-f(x2)/][x1-x2]=f '(x)＞2
因为f (x)=alnx+x²/2
所以f '(x)=a/x+x
因为a＞0，x为正实数
所以a/x+x≥2√a
又f '(x)＞2恒成立
所以2√a≥2
√a≥1
a≥1

Answer 3

1证明：
假设F（X）= G（X）+ H（x）的存在，设置一个样式

则f（-x）的= G（-X）+ H（-X ），设置为2型性质

奇函数：G（X）=-G（-x）的

偶函数性质：H（X）= H（-x）的

BR />然后分别采取一种风格+2公式，我们得到1-2：

F（X）+ F（X）= 2H（x）的

F（X）-F（ - X）= 2G（x）的

因此，我们的结论是，对于任意f（x）的，所以我们能构建两个函数

G（X）= [F（X） -F（-X）] / 2是奇函数

H（X）= [F（X）+ F（-X）] / 2是偶函数

和g（x）的+ H（X）= F（X）

QED方案。

2。设f（x）中，G（X）是偶函数，所以F（X）= F（X）+ G（x）的

则F（X）= F（x）的+ G（ -X）= F（X）+ G（X）= F（x）中，并且因此两个偶函数是偶函数;

同理可设置f（x）中，G（x）是一个奇功能，使F（X）= F（X）+ G（X）

则F（X）= F（-X）+ G（-X）=-F（X）-G（X ）=-F（x）中，所以这两个偶函数且是奇函数;

3。 2具有相同的第一组F（X）中的g（x）的函数然后可以按照本质认证

追问

老师说可以用导数的几何性质来解这道题 将[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)看成x1,x2两点连线的斜率 但是我不是很明白 题目中并没有说x1,x2无限接近 为什么能够把它们连线的斜率看成是f(x)上某处的切线呢？（好吧我上课开小差了这段没听到，求高手解释一下谢谢！）

Answer 4

用函数增减性的定义解题即可。