数学 抽象代数

Question

设G=(a),F=(b)是两个有限循环群,G的阶是n,F的阶是m,证明:G与F同态,当且仅当m|n。

Answer 1

应该是证明: 存在G到F的满同态, 当且仅当m | n.
G = <a>作为n阶循环群, 其中的元素可表示为a^i, 0 ≤ i < n.

充分性: 若m | n, 可设n = mk.
定义映射φ: G → F, φ(a^i) = b^i, 0 ≤ i < n.
由F = <b>是m阶循环群, 其中元素可表示为b^i, 0 ≤ i < m.
而由m | n, 有m ≤ n, 因此φ是满射.
以下验证φ是一个同态: 对任意0 ≤ i, j < n, φ(a^i)φ(a^j) = b^i·b^j = b^(i+j).
当i+j < n, 有φ(a^(i+j)) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
当i+j ≥ n, 有0 ≤ i+j-n < n, 而a^(i+j) = a^(i+j-n)·a^n = a^(i+j-n).
故φ(a^(i+j)) = φ(a^(i+j-n)) = b^(i+j-n) = b^(i+j)·b^(-mk) = b^(i+j)·(b^m)^(-k) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
因此φ: G → F是一个满同态.
即当m | n时, 存在G到F的满同态.

必要性: 假设存在满同态φ: G → F.
由同态基本定理, F = im(φ) ≌ G/ker(φ).
作为有限群有m = |F| = |G|/|ker(φ)| = n/|ker(φ)|.
故m | n.

任意两个群之间都存在零同态.
而有限循环群之间存在非零同态的充要条件是m, n不互质.

Answer 2

有限循环群只有Zn一种
充分性：把Z自然映射到G=Zn和F=Zm建立G和F的同态
必要性：因为同态f(n)=f(0)=e',即nf(1)=e'，则m|n