厉害了！它延长了天文学家的寿命，还能创造宇宙

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数学上有这么一个神奇的东东，拉普拉斯（注[1]）说它大大延长了天文学家的寿命，伽利略说有了它和时间、空间便可创造一个宇宙，恩格斯则将它与解析几何、微积分并称为17世纪三大数学成就。究竟是啥东东如此厉害？

说来你可能不信，它就是看似平常但又在每年高考中虐考生千百遍的对数。

对数的概念在今天早已深入人心，但在四百年前，它对科学的冲击丝毫不亚于上世纪的计算机。那么，是谁发明了这种高大上的运算呢？

虐你千百遍都不厌倦的对数，到底是谁发明的呢？（图片来源：百家号）

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追逐前沿和热点是人的天性，探险家如此，科学家也如此。16世纪，随着哥白尼“日心说”的流行，以精确测量为基础的天文学逐渐成为科学界的新宠，众多科学家前仆后继地投入到天文研究中。

人们常用“天文数字”表示极大的数，在普通人看来，这四个字不过是个抽象的概念，可对天文学家而言，每天面对的却是实实在在的“天文数字”。

天体间的距离动辄就是上亿千米，当时的人们要用大量时间计算这些庞大的数字，有时为了确定一个天体的位置就要在计算上花掉几个月，不光耗费精力，还经常出错。

天文学家们个个都为此头疼不已。

2

看到天文学家们苦不堪言，一位叫纳皮尔（注[2]）的苏格兰人坐不住了。

纳皮尔虽然热衷于政治和宗教斗争，却是个不折不扣的科学家，尤其痴迷于数学计算，一有空就关起门来独自沉浸在数学、天文和物理的世界里。不过，对于如何简化计算，尽管他急在心头，可一时也没有好主意。

纳皮尔画像（图片来源：www-groups.dcs.st-and.ac.uk）

一天，纳皮尔如平日一样伏案读书，无意间翻到了德国数学家维尔纳（Johannes Werner）的著作。维尔纳在书中首次尝试采用三角函数进行简化计算，也就是我们现在熟知的积化和差公式：cosAcosB=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]。纳皮尔顿时来了精神：能不能找到一种方法，像维尔纳的公式一样将乘法转变为加法呢？毕竟，加法可比乘法简单多了。

德国数学家维尔纳（网络图）

想法有了，那就撸起袖子干吧！一番钻研后，纳皮尔成功发明了如今称为“对数”的东东。嗯，他用了20年！

虽然现行教科书中总是用指数来定义对数，但实际上指数的发明比对数晚了23年，也就是说，在纳皮尔的时代，指数的概念并未形成，他无法通过指数引出对数并进行计算，那他是如何进行对数运算的呢？

我们不妨先看看下面两行数：

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,……

聪明的小伙伴一定很快就看出第二行的数都是以2为底、以第一行的数为指数得到的幂。纳皮尔发现，要计算32×128，只需先查出32对应5、128对应7，再将5和7相加得到12，然后根据12对应4096，就可快速得到32×128=4096。

纳皮尔发明的对数表（图片来源：wikipedia）

现在看来，纳皮尔的方法并不复杂，完全是中学数学中最常见的对数运算思想，然而这一思想的创立足足用了他20年的功夫！

1614年，纳皮尔出版了名著《奇妙的对数表说明书》，第一次借助运动学和几何术语阐述了对数计算方法，他在序言里兴奋地写道：“经过长期的思索，我终于找到了一些漂亮的简洁法则！”

《奇妙的对数表说明书》封面（图片来源：wikipedia）

3

纳皮尔因发明了对数而在数学史上拥有崇高地位，然而，当谈起对数的发明时，还不得不提一位叫比尔吉（注[3]）的钟表匠。

比尔吉画像（图片来源：alchetron.com）

比尔吉在布拉格的宫廷里做钟表匠，除了修表，他还有修天文仪器的小爱好。正所谓“技多不压身”，凭借这个小爱好，他得以结识大名鼎鼎的天文学家开普勒（Johannes Kepler），并顺利成为开普勒的助手，帮其做天文观测和计算。面对天文数字，比尔吉自然也感到头大，便萌生了简化计算的想法。

经过八年的不懈努力，比尔吉独立发明了与纳皮尔相似的对数计算方法，并给出了更适合于实际计算的对数表，包含乘法、除法、平方根和立方根等多种计算。然而，直到1620年他才将自己的成果公之于众，而此时纳皮尔的《奇妙的对数表说明书》早已出版，并且风靡整个欧洲大陆了。

比尔吉的著作（图片来源：alchetron.com）

看着比尔吉的首创权就这么没了，开普勒十分遗憾地写道：“比尔吉远在纳皮尔之前就掌握了对数思想，只可惜他习惯了闲散安静的生活，居然像抛弃刚出生的孩子那样抛弃了自己辛辛苦苦发明的对数！”

比尔吉给出的对数表（图片来源：参考文献[2]）

4

话说纳皮尔发明对数的消息很快传播开来，数学家和天文学家们都很感兴趣，认为对数能很好地解决大数乘法的问题。当时伦敦著名的数学教授布里格斯（Henry Briggs）正被天文计算折腾得心烦意乱，在看到纳皮尔的小册子后，他仿佛久旱逢甘雨，决定前往爱丁堡拜访纳皮尔。

出发前，布里格斯兴奋地对朋友说：“纳皮尔爵士出版了一本书，介绍了他新发明的对数。从没有一本书让我如此快乐，真希望今年我能尽快见到这位天才！”

在前往爱丁堡的路上，布里格斯在日记中写道：“纳皮尔爵士能发明如此令人惊奇的对数，必定有着发达的头脑，我猜，他有个大脑门。”

时年54岁的布里格斯俨然成了纳皮尔的小迷妹，四天后，他抵达爱丁堡，见到了爱豆。

纳皮尔居住的城堡（图片来源：wikipedia）

“爵士先生，我这次跋山涉水而来，就是想一睹您的尊容！”布里格斯崇拜地看着纳皮尔，说道，“我特别想知道您是如何发明对数这一绝妙的计算方法的，虽然现在看来它很简单，但在您之前却从未有人发现它。”

“教授，您过奖了。其实我的发明还有很多不完善的地方，您在大学讲授数学课程多年，有没有好的改进建议？”纳皮尔谦逊地说。

?布里格斯直截了当地说：“爵士先生，您在书中选取了0.999999作为底数，虽然可以使真数间的空隙无限缩小，但不如以10为底，这样符合十进制的习惯，计算起来会方便很多。”

英国数学家布里格斯（图片来源：history-computer.com）

纳皮尔听后深表同意，布里格斯干脆在爱豆家住了下来，以便随时讨论问题。经过二人一个月的商讨，终于确定了以10为底的办法：将10的对数作为1，1的对数作为0，即lg10=1=100。小伙伴们看到这里一定很熟悉，这正是如今的常用对数。

1617年，纳皮尔不幸去世，失去了爱豆和合作伙伴的布里格斯格外伤心。但他化悲痛为力量，加快了对数研究的步伐，在纳皮尔去世不久后就出版了自己的第一部对数著作《一千个数的对数》。他在书中采用插值法给出了1到1000的对数，每个结果都精确到14位小数，这是世界上第一张常用对数表。七年后，布里格斯又出版了第二部对数著作《对数的算术》，这次他将对数计算的范围扩大到了100000，精确位数也达到了惊人的40位小数。

《一千个数的对数》中的一页（图片来源：wikipedia）

自此，对数在全欧洲开始被广泛使用，天文数字的计算变得小菜一碟。

5

对数被誉为数学计算领域的三大发明之一（另两个是阿拉伯数字和十进制），经过数学家们的研究和完善，它早已融入到日常生活的每个角落，例如，我们经常接触的分贝、pH值、星等、里氏震级等都是用对数表示的。

对数在群论和微积分中扮演着关键角色，根据对数原理发明的对数计算尺，在过去300多年中一直是科学家和工程师们的必备计算神器，直到上世纪70年代才被电子计算器取代。

电影《起风了》中，身为飞机设计师的主角在绘制图纸时所用的正是计算尺（据网络图制作）

对数的发明节省了消耗在计算上的大量人力，是数学史上重要的里程碑之一，它大大影响了人类的发展进程，甚至有人说它使现代化提前了至少200年！

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注释：

[1]拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）：法国科学院院士，对数学、统计学、物理学和天文学等学科均有重要贡献。

[2] 纳皮尔（John Napier，1550-1617）：苏格兰数学家、物理学家、天文学家，除对数外，他还发明了纳皮尔尺，对小数点的推广也有贡献。

[3] 比尔吉（Jost Bürgi，1552-1632）：瑞士钟表匠、天文仪器制作师和数学家，活跃于卡塞尔和布拉格的宫庭中。