如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．设正方体的棱长为2a．（1）求AD和B1C所成的角；（2）

Question

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．设正方体的棱长为2a．（1）求AD和B1C所成的角；（2）证明：平面EB1D⊥平面B1CD；（3）求二面角E-B1C-D的余弦值．

Answer 1

（1）解：∵正方体中，AD∥BC
∴AD与B₁C所成的角为∠B₁CB
∵∠B₁CB=45°，∴AD和B₁C所成的角为45°（3分）
（2）证明：取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连结BF，EG，GF
∴CD⊥平面BCC₁B₁，且BF?平面BCC₁B₁
∴DC⊥BF
又BF⊥B₁C，CD∩B₁C=C
∴BF⊥平面B₁CD
∵GF∥CD，GF=

1

2

CD，BE∥CD，BE=

1

2

CD，
∴EB∥GF，EB=GF
∴四边形BFGE是平行四边形
∴BF∥GE
∴EG⊥平面B₁CD
又EG?平面EB₁D
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD（8分）
（3）解：连结EF
∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C
又EG⊥平面B₁CD，EF⊥B₁C
∴∠EFG为二面角E-B₁C-D的平面角
∵正方体的棱长为2a
∴在△EFG中，GF=a，EF=

3

a
∴cos∠EFG=

GF

EF

=

3

3

即二面角E-B₁C-D的余弦值为

3

3

（14分）