函数y1(x),y2(x)是微分方程y'+p(x)y=0的两个特解，则该方程的通解为（ ） A.y

Question

函数y1(x),y2(x)是微分方程y'+p(x)y=0的两个特解，则该方程的通解为（ ）
A.y=c1y1+c2y2 B.y=y1+cy2
C.y=y1+c(y1+y2) D.y=c(y1-y2)

Answer 1

首先，对于齐次方程，若y1与y2都是它的解，则二者的任意线性组合c1y1+c2y2也是它的解。而且可以证明，对于一阶齐次方程，两个非零特解之间至多相差一个常数。于是，所给的四个选项是否该方程的同解，取决于它们当中谁含有任意常数。因此，本题应如下选择：
A: 若其中c1、c2表示任意常数(此时必可改写成含一个任意常数的形式)，它就是通解；
B：只要y2是非零特解、c是任意常数，它就是通解；
C：只要y1与y2不互为相反数、c是任意常数，它就是通解；
D：只要y1与y2不相等、c是任意常数，它就是通解。

总之，原题是很不严密的！y1与y2是否非零、是否相等、是否互为相反数、c是某个常数还是任意常数等都应予以界定，否则没法选择！

追问

题目中已经告诉了，y1和y2是两个不同的特解，也就是说y1≠y2

并且微分方程中的c应该都是指任意常数

是不是应该这么理解：
A.因为y1,y2可能为零，所以A不正确
B.因为y2可能为零，所以B不正确
C.因为y1,y2可能互为相反数，所以C不正确
D.因为y1,y2是两个不同的特解，所以D正确

追答

假如“两个特解”理解为“两个不同的特解”，那么本题A、D都是正确的。

追问

哦哦，不好意思，原题中说是y1和y2是两个不同的特解，我少打了

不过A为什么是对的呢

追答

应该说，A本质上是对的（若y1不恒等于零，总可以把c1y1+c2y2写成c·y1的形式），只是写成y1与y2的线性组合的形式会让人觉得有问题。

Answer 2

前面B和C已经有老哥分析过了，补充一句，其实A不正确，只有D正确。原因很简单，看通解的定义：称n阶微分方程的具有n个独立任意常数c1,c2,...,cn的解为通解。这里是一阶方程，所以通解的常数只能有一个。

Answer 3

祝学习快乐，
因为y1(x)-y2(x)是对应的齐次微分方程的解。
y1是非齐次微分方程的一个特解。
根据非齐次微分方程通解的特点：对应的齐次微分方程的通解+一个本身的特解
【希望可以帮到你选b

Answer 4

都是对A有疑问吧！A的话不是通解，可以根据通解的定义“任意常数的个数与微分方程的阶数相同”，由于是一阶，而它有两个任意常数，故错。

Answer 5

一阶微分方程吗？并且是齐次？如果都是选d

追答

满足上面两个问题，那一定是红圈这种形式

有原题吗？

追问

追答

答案d？

追问

不太确定

追答

感觉题怪怪的

追问

哪里

追答

应该是d特解相减是通解，是一阶的所以只有一个c

说错

我再想想

追问

额

追答

特解这一点怪怪的，只听过2阶非齐次的特解，这题他是齐次的

所有都忽略

重新说

。。

我找到了

定理1

追问

是什么？

追答

我弄清出再说吧，不好意思。