一个正整数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,……
通过对这些完全平方数的观察和分析，我们可以获得一些规律性的认识。下面是完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8k或8k+4型。
性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16k,16k+1, 16k+4,16k+9。
性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质11： a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质12：如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。
性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
n^2<k<(n+1)^2, 则k一定不是完全平方数。
性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。
性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
性质16：若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:31:17
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(二)与上述性质相对应的几个结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3k+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4k+2和4k+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5k±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6,8k+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:33:15
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(三)范例解析
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)
(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：求证：11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。
分析：形如111...1(n个1)的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
111...1(n个1)=(10a+1)^2 或 111...1(n个1)=(10a+9)^2
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明：若111...1(n个1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1，则
111...10=100a^2+20a, 111...1(n-1个1)=10a^2+2a
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若111...1(n个1)=(10a+9)^2，同理。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证：由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
[例4]：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
分析：有奇数个约数为完全平方数，即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。
解：从200到1800的自然数中，完全平方数有15^2，16^2，……，42^2。共有42―15+1=28个数满足题意。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因子，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:37:56
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[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
解：设此数为aabb，则：aabb=a0b*11
此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解：设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1)
11｜N - 4或11｜N + 4
N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......)
经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。
解：由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6。∵123456=3×8^3×643不是完全平方数，又因为完全平方数个位只能是0，1，4，5，6，9。∴这个六位数的个位只能是9。∴另一个数的个位只能是3或7，并且另一个数是大于300的三位数。∵数字从左到右越来越大，∴个位数只能是7，∴可能有347，357，367，457，467，经检验，只有367^2=134689符合。
[例9]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
解：n头羊的总价为n^2元，由题意知n^2元中含有奇数个10元，即完全平方数n^2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
[例10]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm^2.
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:41:42
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[例11]：少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
分析：灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。
解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为K的灯泡，亮暗变化的次数等于K的约数的个数，若K的约数的个数是奇数，则K一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。
[例12]：“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
解：设满足题目需求的平方数为χ，则由
45^2<1993+100<46^2，
54^2<1993+999<55^2，可知
45^2<1993+100≤χ≤1993+999<55^2
其中共有46^2，47^2，……，54^2这9个完全平方数。
∴共有9个三位数符合要求。
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-- 发布时间：2004-10-27 9:48:55
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（四）练习题
1．把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（ ）位数字。
2．46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是——。
3．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是——。
4．把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是——。
5．已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为——。
6．已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是——。
7．如n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，则n是——。
8．从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是——。
9．用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？
10．是否存在自然数a,b使得2ab11*7是完全平方数？
11．一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？
12．小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？
13．小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子，弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个？
14．两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。
15．设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。求证：2n-1必为完全平方数。
16．设平方数y^2是11个相继整数的平方和，求y的最小值。
17．求自然数n，使Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n^2+5n为完全平方数。
18．是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5？
19．是否存在两个正整数a,b，使得（a^2+2b）与（b^2+2a）同为完全平方数？
20．若a,b为整数，求证：[a^4+b^4+(a+b)^4]/2是完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:54:22
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21．求k的最大值，使得3^7可以表示为k个连续正整数之和。
22．若a,b为整数，且24a^2+1=b^2。求证：a,b中有且仅有一个是5的倍数。
23．求证：若a是完全平方数，则a的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正约数的个数为奇数，则a是完全平方数。
24．求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。
25．若d为自然数，求证：2d-1,5d-1,13d-1不可能都是完全平方数。
26．加上400后就可以成为完全平方数的四位数有几个？
27．四个连续正整数的倒数和为19/20，则着四个整数的平方和是——。
28．求证：对任意正整数k，2k-1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。
29．若a,b是相邻两个自然数，c=a*b，求证：a^2+b^2+c^2是某个奇数的平方。
30．使得m^2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是多少？
31．设正整数a,b,c,d满足a^2+6^2=b^2, d^2+10^2=c^2，求c^2+d^2-a^2-b^2的值。
32．使2^8+2^11+2^n为完全平方数的n的值。
33．若A1,A2,A3,……,Ak是n的全部正约数，求证n^k是完全平方数。
34．设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
35．求一个三位数，使它等于一个自然数n的平方，且各位数字之积等于n-1。
36．接连写出偶数个1形成的数A，再写出一半那么多个的4形成的数B, 试征：A+B+1是完全平方数。
37．若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。
38．求使得2^m+3^n为完全平方数的所有正整数m和n。
39．求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中有一个非零）。
40．设有四个整数2，5，13及d，其中d不等于2，5，13。证明：在四个数中存在两个数a,b使得a*b-1不是完全平方数。
41．若x,y为正整数，使得x^2+y^2-x能被2xy整除。求证：x为完全平方数。
42．证明：7111…12888…89是一个完全平方数（1和8均为n-1个）。
43．已知直角三角形的两直角边长分别为p,m，斜边长为n，且p,m,n均为正整数，l为质数。求证：2（p+m+1）是完全平方数。
44。有这样一个数组，由K个互不相同的自然数（不含0）组成，其中任一两个数之和都是完全平方数，称之为平方数组。当K=3时，求使这三个数之和为最小的一个平方数组。当K=4,5时又如何？
45．自然数N是完全平方数。N不是10的倍数，但把N最后两位数字擦去，剩下的刚巧还是完全平方数(例如N可以是121，把21擦去，剩下的1还是完全平方数)。问N最大是多少?
46．设1/a+1/b=1/c，其中a、b、c是正整数，且三个数的最大公因数是1，求证：
a+b是一个完全平方数
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（五）拓展
与完全平方数的末几位数有关的数字问题：
1、完全平方数的末两位数字只能是00；01，21，41，61，81；04，24，44，64，84；
25；16，36，56，76，96；09，29，49，69，89共22种可能
2、如果把某个自然数任意计算它的N次方后，得到的各种结果的末A位数与原自然数的末A位数相同，我们就称这个自然数为“永恒数”，
例如：一位自然数的永恒数有1，5，6三个；
两位的永恒数一个是25， 另一个是101—25=76；
三位的永恒数是25的平方625，还有一个是1001—625=376；
四位的永恒数是625的平方90625的末四位：0625，与10001—0625=9376，由于的首位是0，实际只有一个9376，
五位的永恒数是90625与100001—90625=09376，实际只有一个90625，9376的平方87909376的末五位数是09376，用100001—09376=90625，
六位的永恒数是---------------
从上面能否发现一些永恒数的规律：
从两位数开始永恒数一般只有两个且成对出现（当首位出现0时例外），每一对永恒数的结果总等于10？？01（比这对永恒数的位数多一位）。
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0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,……
通过对这些完全平方数的观察和分析，我们可以获得一些规律性的认识。下面是完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8k或8k+4型。
性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16k,16k+1, 16k+4,16k+9。
性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质11： a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质12：如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。
性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
n^2<k<(n+1)^2, 则k一定不是完全平方数。
性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。
性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
性质16：若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。
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(二)与上述性质相对应的几个结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3k+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4k+2和4k+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5k±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6,8k+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
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(三)范例解析
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)
(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：求证：11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。
分析：形如111...1(n个1)的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
111...1(n个1)=(10a+1)^2 或 111...1(n个1)=(10a+9)^2
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明：若111...1(n个1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1，则
111...10=100a^2+20a, 111...1(n-1个1)=10a^2+2a
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若111...1(n个1)=(10a+9)^2，同理。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证：由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
[例4]：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
分析：有奇数个约数为完全平方数，即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。
解：从200到1800的自然数中，完全平方数有15^2，16^2，……，42^2。共有42―15+1=28个数满足题意。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因子，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
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[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
解：设此数为aabb，则：aabb=a0b*11
此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解：设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1)
11｜N - 4或11｜N + 4
N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......)
经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。
解：由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6。∵123456=3×8^3×643不是完全平方数，又因为完全平方数个位只能是0，1，4，5，6，9。∴这个六位数的个位只能是9。∴另一个数的个位只能是3或7，并且另一个数是大于300的三位数。∵数字从左到右越来越大，∴个位数只能是7，∴可能有347，357，367，457，467，经检验，只有367^2=134689符合。
[例9]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
解：n头羊的总价为n^2元，由题意知n^2元中含有奇数个10元，即完全平方数n^2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
[例10]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm^2.
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:41:42
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[例11]：少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
分析：灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。
解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为K的灯泡，亮暗变化的次数等于K的约数的个数，若K的约数的个数是奇数，则K一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。
[例12]：“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
解：设满足题目需求的平方数为χ，则由
45^2<1993+100<46^2，
54^2<1993+999<55^2，可知
45^2<1993+100≤χ≤1993+999<55^2
其中共有46^2，47^2，……，54^2这9个完全平方数。
∴共有9个三位数符合要求。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:48:55
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（四）练习题
1．把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（ ）位数字。
2．46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是——。
3．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是——。
4．把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是——。
5．已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为——。
6．已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是——。
7．如n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，则n是——。
8．从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是——。
9．用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？
10．是否存在自然数a,b使得2ab11*7是完全平方数？
11．一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？
12．小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？
13．小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子，弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个？
14．两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。
15．设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。求证：2n-1必为完全平方数。
16．设平方数y^2是11个相继整数的平方和，求y的最小值。
17．求自然数n，使Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n^2+5n为完全平方数。
18．是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5？
19．是否存在两个正整数a,b，使得（a^2+2b）与（b^2+2a）同为完全平方数？
20．若a,b为整数，求证：[a^4+b^4+(a+b)^4]/2是完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:54:22
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21．求k的最大值，使得3^7可以表示为k个连续正整数之和。
22．若a,b为整数，且24a^2+1=b^2。求证：a,b中有且仅有一个是5的倍数。
23．求证：若a是完全平方数，则a的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正约数的个数为奇数，则a是完全平方数。
24．求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。
25．若d为自然数，求证：2d-1,5d-1,13d-1不可能都是完全平方数。
26．加上400后就可以成为完全平方数的四位数有几个？
27．四个连续正整数的倒数和为19/20，则着四个整数的平方和是——。
28．求证：对任意正整数k，2k-1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。
29．若a,b是相邻两个自然数，c=a*b，求证：a^2+b^2+c^2是某个奇数的平方。
30．使得m^2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是多少？
31．设正整数a,b,c,d满足a^2+6^2=b^2, d^2+10^2=c^2，求c^2+d^2-a^2-b^2的值。
32．使2^8+2^11+2^n为完全平方数的n的值。
33．若A1,A2,A3,……,Ak是n的全部正约数，求证n^k是完全平方数。
34．设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
35．求一个三位数，使它等于一个自然数n的平方，且各位数字之积等于n-1。
36．接连写出偶数个1形成的数A，再写出一半那么多个的4形成的数B, 试征：A+B+1是完全平方数。
37．若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。
38．求使得2^m+3^n为完全平方数的所有正整数m和n。
39．求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中有一个非零）。
40．设有四个整数2，5，13及d，其中d不等于2，5，13。证明：在四个数中存在两个数a,b使得a*b-1不是完全平方数。
41．若x,y为正整数，使得x^2+y^2-x能被2xy整除。求证：x为完全平方数。
42．证明：7111…12888…89是一个完全平方数（1和8均为n-1个）。
43．已知直角三角形的两直角边长分别为p,m，斜边长为n，且p,m,n均为正整数，l为质数。求证：2（p+m+1）是完全平方数。
44。有这样一个数组，由K个互不相同的自然数（不含0）组成，其中任一两个数之和都是完全平方数，称之为平方数组。当K=3时，求使这三个数之和为最小的一个平方数组。当K=4,5时又如何？
45．自然数N是完全平方数。N不是10的倍数，但把N最后两位数字擦去，剩下的刚巧还是完全平方数(例如N可以是121，把21擦去，剩下的1还是完全平方数)。问N最大是多少?
46．设1/a+1/b=1/c，其中a、b、c是正整数，且三个数的最大公因数是1，求证：
a+b是一个完全平方数
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:55:45
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（五）拓展
与完全平方数的末几位数有关的数字问题：
1、完全平方数的末两位数字只能是00；01，21，41，61，81；04，24，44，64，84；
25；16，36，56，76，96；09，29，49，69，89共22种可能
2、如果把某个自然数任意计算它的N次方后，得到的各种结果的末A位数与原自然数的末A位数相同，我们就称这个自然数为“永恒数”，
例如：一位自然数的永恒数有1，5，6三个；
两位的永恒数一个是25， 另一个是101—25=76；
三位的永恒数是25的平方625，还有一个是1001—625=376；
四位的永恒数是625的平方90625的末四位：0625，与10001—0625=9376，由于的首位是0，实际只有一个9376，
五位的永恒数是90625与100001—90625=09376，实际只有一个90625，9376的平方87909376的末五位数是09376，用100001—09376=90625，
六位的永恒数是---------------
从上面能否发现一些永恒数的规律：
从两位数开始永恒数一般只有两个且成对出现（当首位出现0时例外），每一对永恒数的结果总等于10？？01（比这对永恒数的位数多一位）。
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温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2013-08-05
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。证明 奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得（10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1（10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9（10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a^2+5+1)+5（10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a^2+7+2)+9（10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a^2+9+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明 已知m^2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则10k+6=(10n+4)^2=100n^2+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)^2=100n^2+(12n+3)x10+6即 k=10n^2+8n+1=2(5n^2+4n)+1或 k=10n^2+12n+3=2(5n^2+6n)+3∴ k为奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1（2k)^2=4k^2性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到（2k+1)^2是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)^2为8n型或8n+4型的数。性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得（3m)^2=9m^2=3k（3m+1)^2=9m^2+6m+1=3k+1（3m+2)^2=9m^2+12m+4=3k+1同理可以得到：性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。性质8：形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面以四位数为例来说明这个命题。设四位数为，则1000a+100b+10c+d= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。对于n位数，也可以仿此法予以证明。关于完全平方数的数字和有下面的性质：性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而（9k)^2=9(9k^2)+0（9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1（9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4（9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9（9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：性质10：为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。证明 充分性：设b为平方数，则=(ac)必要性：若为完全平方数，=，则性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。即若n^2 < k^2 < (n+1)^2则k一定不是整数。性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
第2个回答 2005-11-04
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…本回答被网友采纳
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…本回答被网友采纳
第3个回答 2005-11-04
一个数是另一个数的平方，它就叫完全平方数。像4，9，25……
第4个回答 2005-11-06
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数
什么是完全平方数
完全平方数是一个整数，它可以表示为某个整数的平方。详细解释如下：一、定义 完全平方数是一个非负整数，它可以写成另一个整数的平方。例如，0、1、4、9、16等都是完全平方数，因为它们分别对应的是0、1、2、3和4这几个整数的平方。二、特性 1. 非负性：由于是完全平方，结果必定是非负的。2...
什么叫做完全平方数,完全平方数的性质是什么?
完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。如果一个正整数 a 是某一个整数 b 的平方，那么这个正整数 a 叫做完全平方数。
完全平方数是什么意思
完全平方数是指一个数乘以它自己得到的数。完全平方数是一个数学概念，它表示一个数乘以它自己得到的数值结果。这样的数通常以“n²”的形式表示，其中n是某个整数。以下是关于完全平方数的详细解释：一、完全平方数的定义 当我们说一个数是“完全平方”时，意味着它可以表示为一个整数的自乘...
什么叫完全平方数
完全平方数是指一个数乘以它自己，即这个数的二次幂所得的结果。一个完全平方数是一个整数的平方，它可以表示为某个整数与自身的乘积。具体来说，假设有一个整数n，它的平方就是n乘以n的结果。这样的数包括从最小的数的平方开始的所有整数的平方。例如，4是2的平方，9是3的平方，以此类推。完全...
完全平方是什么
完全平方是指一个数或表达式乘以它自己。完全平方具有特殊的数学形式。具体来说，如果一个数或代数式乘以它自身，得到的结果就是一个完全平方。例如，在数字中，4、9、16等都是完全平方数，因为它们可以表示为2×2、3×3和4×4等。在代数中，形如^2或^2的表达式，通过展开后也可得到完全平方的...
什么是完全平方数
完全平方数是一种特殊的数学概念，指的是一个数乘以它自己得到的结果。简单来说，如果一个数是a的平方，那么我们就称这个数为a的平方数。例如，1、4、9、16等都是完全平方数。1、完全平方数的特点是它们的平方根是整数。这意味着我们可以通过简单的数学运算找到任何一个完全平方数的平方根。例如，...
什么叫做完全平方数
完全平方数是指一个数乘以它自己得到的数。详细解释如下：完全平方数的定义 在数学中，完全平方数是一个非常重要的概念。它指的是一个数乘以它自己之后得到的乘积。换句话说，如果一个数n乘以它自己等于某个数，那么这个数就是完全平方数。例如，4乘以自己得到16，所以4是一个完全平方数。类似的，...
什么是完全平方数?举例说明?
问题一：什么是完全平方数 一）完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、...
什么是完全平方数
在代数中，完全平方数的识别和应用也是常见的。例如，一个多项式可以被分解为完全平方形式，这有助于简化计算。例如，多项式x^2 + 6x + 9可以分解为(x+3)^2，其中3是多项式的根，而9是完全平方数。此外，完全平方数在解决数学问题和进行数学推理时也起着关键作用。例如，费马大定理、毕达哥拉斯...
完全平方数是什么意思?
在数学中，完全平方数指的是一个整数，该整数可以表示为另外一个整数的平方，数学上常用符号“√”来表示该整数是平方数。例如，4就是一个完全平方数，因为它可以表示为2的平方，即4=2×2。完全平方数在数学和实际生活中都具有重要的作用。在数学中，完全平方数是许多数的特殊和，它们具有一些独特的...
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