三角形的面积公式是什么？

Question

三角形的面积公式是什么？
除了二分之一底乘高之外,还有多少种计算方法?
有人说至少有十种计算方法？

奖励：说出八种方法以上者，每个方法加10分。
奖励：说出十种以上方法者，每个多出的方法加20分。

数学手段不限。譬如：积分就是一种方法。

Answer 1

1、先来看海伦公式：三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，
其中P=(A+B+C)/2
A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。
2、再来看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]
=（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）] 变形1
=（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]} 变形2
=（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]} 变形3
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^] 变形4
3、画一个三角形（在这儿不好画，你自己画一个吧），三边分别为
A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H，把A分成两部分X、Y
根据勾股定理可得以下三式：
X=A-Y 第1式
H^=B^-Y^ 第2式
H^=C^-X^ 第3式
根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^ 第4式
把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得
Y=（A^-C^+B^）/2A 第5式

根据第2式可得
H=√（B^-Y^）
=√[B^-（A^-C^+B^）/4A^]
={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A

三角形面积S=（1/2）*AH
=（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^ ]

Answer 2

虽然不多，也许有的会有些帮助，请您借鉴，请看图：

Answer 3

本质上讲欧氏几何的三角形面积公式全都是等价的。我随便给你写几个路子，满足一下你的收藏欲望，除Pick定理外都是平凡的。

1.S=ah/2，这个小学生都会，但是是所有其它“高级”公式的来源。

2.S=absinC/2，这个直接由上面得到。

3.如果知道BC边的高h和B,C两个角，那么S=h^2(ctgB+ctgC)/2，这个通常用于实地测量。

4.利用内切圆半径：S=(a+b+c)r/2；利用外接圆半径：S=abc/4R=2R^2 sinAsinBsinC

5.Heron公式，秦九韶公式就是Heron公式的变形，楼上也写了。

6.在平面直角坐标系里面，利用行列式来表示有向面积
A=
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
有向面积S=det(A)/2。

7.如果三角形的两条边由向量X,Y构成，那么可以用||X×Y||_2/2，适用于3维欧氏空间。

8.平面上均匀正方形格点中的三角形面积有Pick定理：S=内点数+边点数/2-1。

9.在计算几何中常将顶点投影到坐标轴上，利用直角梯形的有向面积和来算面积，也适用于三角形。

下面几种办法还可以算曲边三角形

10.利用Monte-Carlo方法算面积，不过这个方法得到的是近似，取极限才能得到面积。

11.在平面直角坐标系里，既可以用分段线性函数的定积分来做，也可以用Green公式来算。

12.利用仿射变换的Jacobi行列式来做。

13.在极坐标系下可以得到另一种形式的面积公式。

14.利用Kepler第二定律，在有心力作用下，计算物体运动轨迹在一定时间内扫过的面积可以转化为计算另一个标准的面积。

随便写写，一时间就想到这些。

Answer 4

1、先看海伦公式：三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，
其中P=(A+B+C)/2
A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。
2、再看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]
=（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）] 变形1
=（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]} 变形2
=（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]} 变形3
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^] 变形4
3、画一个三角形（这儿画不了），三边分别为
A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H，把A分成两部分X、Y
根据勾股定理可得以下三式：
X=A-Y 第1式
H^=B^-Y^ 第2式
H^=C^-X^ 第3式
根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^ 第4式
把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得
Y=（A^-C^+B^）/2A 第5式

根据第2式可得
H=√（B^-Y^）
=√[B^-（A^-C^+B^）/4A^]
={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A

三角形面积S=（1/2）*AH
=（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^ ]

Answer 5

=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinC
(C为a,b的夹角)
底*高/2
底X高除2
二分之一的
（两边的长度X夹角的正弦）
s=1/2的周长*内切圆半径
s=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinC
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
大角对大边
周长c=三边之和a+b+c
面积
s=1/2ah(底*高/2)
s=1/2absinC(两边与夹角正弦乘积的一半)
s=1/2acsinB
s=1/2bcsinA
s=根号下：p(p-a)(p-b)(p-c)
其中p=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式
正弦定理：
sinA/a=sinB/b=sinc/C
余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bc
cosA
b^2=a^2+c^2-2ac
cosB
c^2=a^2+b^2-2ab
cosA
三角形2条边向加大于第三边.
三角形面积=底*高/2
三角形内角和=180度
求面积吗
(上底+下底)×高÷2
三角形面积=底*高/2
三角形面积公式：
底*高/2
三角形的内角和是180度