java 递归算法问题：(n,k)=(n-1,k-1)+(n-1,k)？

Question

看见一本java数据结构和算法的书，递归那个章节时，有个例子说登山队选择成员组队的问题：有5个登山队员，名字为A、B、C、D、E,在其中选择3个。
可能组合是：ACB ABD ABE ACE ACE ADE BCD BCE BDE CDE
然后问题来了，书上说，由A开始的和不是A开始的组合。假设把从5个人中选出3个的组合简写成（5，3）.规定n是这群人的大小，并且k是组队的大小，
有：
(n,k)=(n-1,k-1)+(n-1,k),我想问问这个是怎么来的？
ps:"书上说，由A开始的和不是A开始的组合"可以不用看。

Answer 1

(n,k)=(n-1,k-1)+(n-1,k)
就是说 n 个里面要选 k 个,分为两组,包含 A和不包含A。
包含 A : 已经包含A了,所以总数是 n-1 个了；同理，已经包含了A，所以只要选 k -1 个就可以了，所以为 （n-1，k-1）。
不包含A：已经不包含A了，所以总数是 n-1 个；还是选 k个，所以为(n-1,k)。
无限递归即可以了。

Answer 2

其实这是涉及到数学中的“组合、排列”的知识的。
排列就如：“五个球，有顺序的抽出其中两个，求：可能出现的所有结果”；
组合就如：“五个球，任意抽出两个，求：可能出现的所有结果”。
注意：他们的区别是——排列中，顺序的不同会导致结果的不同；而组合中，顺序的不同，结果是会一样的。
你这个问题中提到的其实就是“组合”的情况。
计算组合类的题目时，其实是有一个专门的写法的（但这里写不出来，用Word才可以）。
用一般的表达式表达的话，你的这个问题中，
（n,k)=[n×(n-1)×……×（n-k+1)]÷[k×(k-1)×……×1] ①式
而同理，
（n-1,k)=[(n-1)×(n-2)×……×（n-k)]÷[(k)×(k-1)×(k-2)……×1] ②式
（n-1,k-1)=[(n-1)×(n-2)×……×（n-k+1)]÷[(k-1)×(k-2)×……×1] ③式
将③式的分子、分母各乘上一个k（即乘以1，不会影响值大小），然后将分子与②式的分子相加，就可以得到①式了。即：
(n,k)=(n-1,k-1)+(n-1,k)是成立的。
你还是不明白的话可以百度HI问我。这样说很难明白…