通项是an=n的平方的数列，怎么求和啊

Question

还有n的三次方，都如何求和呢？谢谢

Answer 1

这是常见的一些公式，你的问题是第二和第三条，用叠加法推导，一般只要求记住公式就可以了。
1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3） 1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4） 1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6） 1+3+6+10+15+......
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+......
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/(1+2+3+...+n)
=2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+..........+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
15）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1

Answer 2

Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

所以Sn=1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
2.同理
Sn=1^3+2^3+3^3+……+n^3

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

所以Sn=1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

Answer 3

如果使用算术方法可以推导出来：
我们知道
(k
+
1)^3
-
k^3
=
3k^2
+
3k
+
1
(1
+
1)^3
-
1^2
=
3*1^2
+
3*1
+
1
(2
+
1)^3
-
2^3
=
3*2^2
+
3*2
+
1
(3
+
1)^3
-
3^3
=
3*3^2
+
3*3
+
1
.............
(n
+
1)^3
-
n^3
=
3*n^2
+
3*n
+
1
以上相加得到：
(n
+
1)^3
-
1
=
3*sn
+
3*n(n
+
1)/2
+
n
...
此处引用：1
+
2
+
3
+
....
+
n
=
n(n
+
1)/2
整理化简即可得到：
sn
=
1^2
+
2^2
+
3^2
+
...
+
n^2
=
n(n
+
1)(2n
+
1)/6
用归纳法。
1）当n=1时，1^2=1*2*3/6=1，等式成立。
2）假设n=k时，1^2+2^2+3^2......+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立。
那么：
1^2+2^2+3^2......+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)/6*[k(2k+1)+6(k+1)]
=(k+1)/6*(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
等式也成立。
3）因为n=1等式成立，所以
1^2+2^2+3^2......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
恒成立

Answer 4

S=a1+a2+a3+……+an=1+2+3+……+n 这是个等差数列公式

n的三次方那个也是公式