微积分随笔：牛顿—莱布尼茨公式

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积分上限函数定义了在区间[a, b]上对可积函数f(x)进行积分，得到的函数称为积分上限函数或变上限积分函数。该函数满足三个条件：被积函数与x无关；积分下限为常数；积分上限为变量，而非算式。当函数f(x)在[a, b]上连续时，积分上限函数Φ(x)成为f(x)在[a, b]上的一个原函数，意味着Φ'(x) = f(x)。特别注意，在积分计算中，将被积函数中的积分变量更改为t，以区分积分上限中的x，避免混淆。进一步，定积分导数的结论表明积分上限函数对x的导数等于被积函数。

牛顿—莱布尼茨公式是计算定积分的重要方法之一。如果函数f属于连续函数C[a, b]，且函数F(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数，那么根据牛顿—莱布尼茨公式，定积分等于原函数在b点的值减去原函数在a点的值。该公式可以通过积分上限函数公式证明。牛顿—莱布尼茨公式不仅为计算定积分提供了一个高效方法，还建立了定积分与原函数之间的关系，将微分学和积分学紧密联系在一起，被称作微积分基本公式。公式中的原函数增量通常表示为F(b) - F(a)。