为什么极限不能拆开使用？

Answer 1

在使用极限的四则运算法则时，必须注意它们的适用条件。只有当每个函数的极限都存在时，才能应用和、差、积的极限法则。商的极限法则则要求分子、分母的极限都存在，并且分母的极限不为零。如果其中任何一个极限不存在，那么就不能使用四则运算法则。
极限的四则运算公式如下：
1. \( \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x) \)
2. \( \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x) \)
3. \( \lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x) \)
4. \( \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x^{-1}) \), 其中 \( \lim_{x \to c} g(x) \neq 0 \)
5. \( \lim_{x \to c} (f(x))^n = (\lim_{x \to c} f(x))^n \)
需要注意的是，上述公式中的 \( \lim_{x \to c} f(x) \) 和 \( \lim_{x \to c} g(x) \) 都必须存在，这些公式才成立。
极限的性质包括：
1. 唯一性：如果一个数列的极限存在，那么这个极限值是唯一的，它的任何子列的极限都与原数列的极限相等。
2. 有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。
3. 和实数运算的相容性：如果两个数列 \( \{x_n\} \) 和 \( \{y_n\} \) 都收敛，那么数列 \( \{x_n + y_n\} \) 也收敛，而且它的极限等于 \( \{x_n\} \) 的极限和 \( \{y_n\} \) 的极限的和。
4. 与子列的关系：如果数列 \( \{x_n\} \) 与它的任一非平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列收敛的充要条件是：数列 \( \{x_n\} \) 的任何非平凡子列都收敛。
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