高数这个数学题为什么不能把式子拆开

Question

为什么不能如图片中将式子拆开

Answer 1

拆开后，第一项和第三项都是趋于无穷大，所以不能这样拆。

Answer 2

求极限可拆分条件是拆分后，每部分极限都存在。这个题明显前后两部分极限不存在，所以不能这么拆，但是第二部分可以拆出来，因为极限存在

Answer 3

拆开后很有可能变得无极限，或者不可知。
因为有些高阶隐藏在加减运算表达式中，一旦拆开就不再相互抵消，而变成∞-∞的形式
而我们对这种形式是没有办法的。
比如本题：使用罗比达法则，极限为2.
经过拆开后变成∞-∞-∞，就无法求了。
这种式子不要是加减，即使是乘除都最好保持原样，不要拆开！除非拆开的式子仍然各自极限存在

Answer 4

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。