求教一道高数题（19）！请高手指教，谢谢！

Answer 1

不妨设x1<x2,x1<(1-t)x1+tx2<x2
原不等式等价于f[(1-t)x1+tx2]-f(x1)<=t[f(x2)-f(x1)]
根据拉格朗日中值定理存在x1<c<(1-t)x1+tx2
t(x2-x1)f'©=f[(1-t)x1+tx2]-f(x1)
只须证(x2-x1)f'©<=f(x2)-f(x1)
再用一次中值定理，存在x1<d<x2
f'(d)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
f'©<=f'(d),存在c<e<d
f''(e)=[f'(d)-f'©]/(d-c)>0

追问

谢谢！