初中数学（二次函数）

Question

已知抛物线y=a(x-t-1)^2+t^2(a、t是常数，a≠0,t≠0)的顶点是A。
(1)判断点A是否在抛物线y=x^2-2x+1上，为什么？
(2)如果抛物线y=a(x-t-1)^2+t^2经过点B(B为抛物线y=x^2-2x+1的顶点)。
①求a的值；
②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。

后天就考试了，可是这题好难哦，若能解出者，小弟感激不尽呀。谢谢！

Answer 1

1.
抛物线y=a[x-(t+1)]²+t²，得顶点A(t+1，t²)
点A代入抛物线y=x²-2x+1，有(t+1)²-2(t+1)+1=t²
该等式成立，所以点A在抛物线y=x²-2x+1上

2.1.
抛物线y=x²-2x+1=(x-1)²，得顶点B(1，0)
点B代入抛物线y=a[x-(t+1)]²+t²，有a[1-(t+1)]²+t²=0，即at²+t²=0
t≠0，则a+1=0，得a=-1

2.2.
抛物线顶点到它与x轴两交点的距离相等，则该直角三角形是顶点A为直角的等腰直角三角形。易知顶点到x轴距离为x轴上两交点距离的一半。
y=-[x-(t+1)]²+t²=-{[x-(t+1)]²-t²}=-[x-(t+1)+t][x-(t+1)-t]=-(x-1)[x-(2t+1)]
抛物线与x轴两交点分别是(1，0)、(2t+1，0)，顶点A(t+1，t²)
则两交点的距离是|1-(2t+1)|=2|t|，顶点A(t+1，|t|)
有t²=|t|，得t=±1

Answer 2

解：（1）顶点A坐标为（t+1,t^2),将t+1代入x^2-2x+1,得值为t^2,得A在该抛物线上。
（2）B坐标为（1，0），代入原抛物线，得a=-1
原抛物线为y=-(x-t-1)^2+t^,与x轴交点坐标为(2t-1,0)、(-1,0),顶点与两交点连线斜率为t^2/(2-t)、t^2/(2+t),因为它们不能同时为1与-1，所以不能构成直角三角形。

Answer 3

等级不够看不到图