一 数学的发源地：古希腊
华人中最杰出的数学家陈省身最近去世了。在弥留之际，他一直在说："送我去希腊。"就像麦加是伊斯兰的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一样，数学家和哲学家心中的圣地就是希腊。古希腊群星璀璨，亚里士多德，苏格拉底，阿基米德这样的博学而又智慧的大家让其它民族望尘莫及。有记载第一位哲学家和数学家是泰勒斯，哲学是从泰勒斯开始的，他预言过一次日蚀，所以我们就很幸运地能够根据这件事实来断定他的年代；据天文学家说，这次日蚀出现于公元前585年。他第一次证明了在圆上，直径所对应的圆周角是90度，这也标志这几何学的诞生和证明的开始。希腊人中能产生那么多哲学家和数学家，几乎可以肯定的是那里的公民有辩论的自由，他们崇尚逻辑思维而不是崇尚武力。
毕达哥拉斯算是希腊数学家中的一个杰出的人物，他创立的有理数的概念至今对于一些受过高等教育的中国人还是一个难的东西。说它难，其实不难，关键是学习知识太功利，彻底搞清这个概念远远比背诵一段政治容易。我上【高等数学】课时，几乎年年有人问我："老师，学习这个有什么用？"希腊的欧几里德碰到谁问他这个问题，从兜里拿出一个硬币，告诉仆人："把这个硬币给他，他问学几何有什么用，学几何不能赚钱，让他拿这个硬币走吧！"
毕达哥拉斯是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。不仅关于他的传说几乎是一堆难分难解的真理与荒诞的混合，而且即使是在这些传说的最单纯最少争论的形式里，它们也向我们提供了一种最奇特的心理学。他建立了一种宗教，主要的教义是灵魂的轮回和吃豆子的罪恶性。他的宗教体现为一种宗教团体，这一教团到处取得了对于国家的控制权并建立起一套圣人的统治。但是未经改过自新的人渴望着吃豆子，于是就迟早都反叛起来了。
毕达哥拉斯教派有一些规矩是：
1．禁食豆子。
2．东西落下了，不要拣起来。
3．不要去碰白公鸡。
4．不要擘开面包。
5．不要迈过门闩。
6．不要用铁拨火。
7．不要吃整个的面包。
8．不要招花环。
9．不要坐在斗上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房里不许有燕子。
13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁边照镜子。
15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。
毕达哥拉斯在代数上的主张是认为数是万物之源，并且认为一切数都能写成两个自然数相除的形式。毕达哥拉斯的在几何上最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为3，4，5的话，则必有一个直角。但是第一个给出严格证明的却是毕达哥拉斯，因此这个定理也被冠以他的名字。这个定理在中国被称作勾股定理，不过至今没有得到广泛的承认。
然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数(无理数)的发现，这似乎否定了他的全部哲学。他的一个学生用毕达哥拉斯定理证明了：当正方形的边长是1时，对角线长度不能用任何两个整数相除来表示，也就是说不是有理数。这刚好否定了毕达哥拉斯关于数的存在都是有理的（rational）的想法，这个学生的发现导致了他的丧命：被教众抛进了大海。这次事件被称作数学历史上的第一次危机，它否定了一切数都是有理数的结论。直到18－19世纪，关于微积分严格性的讨论才对第一次数学危机给出了解答。
二 不懂几何者不许入内和阿基米德的裸奔
现在中学生学习的平面几何，都是来源于两千多年前的一本奇书：《几何原本》，它是古希腊数学家欧几里得的一部不朽杰作，是当时整个希腊数学方法和数学思想的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学的发展有着不可估量的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经翻译和修订的次数更是不胜枚举，自1482年第一个印刷本出版以来，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》却有着超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，是《圣经》所无法比拟的。《几何原本》的希腊原始抄本现在已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。
《几何原本》对于数学的影响是不可估量的，它是人类历史上第一次采用公理化的体系来讨论数学。就是先假定一些命题是不加证明而认可的，所有的定理和结论都是建立在这些公理的逻辑演绎之上。至今中学生所学的平面几何和立体几何都没有超出《几何原本》的范围，因此可以说这是对人类思想影响最远的数学书。现代数学的公理化方法都是来源于欧几里德的这本书《几何原本》。
古人学习几何更是困难，据说当学到‘一个等腰三角形的两个底角相等'这个定理时，好多人就无论怎样都学不会了，因此这个定理又叫‘驴子的梯子'，指它难住了一大批人。直到现在，平面几何的一些知识或者立体几何的一些定理仍然难住了一大批人，大概学习数学需要一些天赋吧。因此当国王多禄米向欧几里德讨教学习几何的捷径时，欧几里德告诉他："在几何里面，没有为国王提供的捷径。"
在数学上，古希腊人提出"三大问题"：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。这类问题直到近代群论的出现，才得以得到解决，这三个问题都是不可解的。
阿基米德就是学习《几何原本》的学生中最杰出的一位。他11岁便离开家乡到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习《几何原本》，按辈份他应该是欧几里德的徒孙。他在数学和物理上所创造的奇迹使他成为人类历史上最杰出的科学家。一个著名的故事是：叙拉古的亥厄洛国王委托金匠造一顶纯金的皇冠，但是怀疑里面被掺了银子，当然不可能通过把皇冠割开来检验这个王冠，于是便请阿基米德鉴定一下。一次当他洗澡时正在冥思苦想，这时水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼："尤里卡！尤里卡！"（我发现了），于是便开始在大街上裸奔起来了，一直跑到家里。
他在数学上的发现创造更是数不胜数，阿基米德螺线，抛物线上的弓形求面积方法含有现代积分思想，求圆的面积，球的表面积和体积的公式，圆周率的求法和误差估计，等等，直到现在，全世界活着的人中，至少还有百分之六十的人数学知识比不上两千年前的阿基米德。
阿基米德的死也具有传奇色彩，甚至可以编成一部精彩的电影。公元前212年，罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，他们看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵们将沙盘踩坏。阿基米德怒斥士兵："不要弄坏我的图！"士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。还有一个版本是他死前说的话是："让我做完最后一道题。"
关于阿基米德在数学史上的地位，美国的数学史学家E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的："任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。"
三 牛顿时代就有马甲
从古希腊数学到近代微积分的产生，中间经历了漫长的停滞不前的年代。期间，各国都产生了一些杰出数学家和一些成果，但是这些成果都是零星的非本质的。期间中国最引以自豪的数学家是祖冲之，他计算出圆周率到小数点后7位。
在十七世纪中叶以后，数学知识的火山似乎在一夜之间爆发了。其中以微积分为代表的变量数学彻底改变了人们的数学思想和方法，解决了物理上提出的大量问题，并且给出了用传统方法想都不敢想的问题的解法。在微积分发现的优先权的争执上，英国数学家和大陆数学家产生了严重纠纷。牛顿于是用了好多编造的名字来‘证明'莱布尼茨的知识不是原创而是抄袭牛顿的。其言辞之尖刻、辱骂之恶毒令人难以想像。莱布尼茨死后，牛顿还津津乐道的向别人讲述怎样用马甲使莱布尼茨伤透了心，并沾沾自喜。
这个时代，法国的贝努力（Bernoulli）家族是一个数学家族，三代出现了十多位杰出的数学家。 这个家族人的脾气都不太好，最奇怪的他们是开始都不是从事数学，可是到后来全部迷上了数学。父亲因为儿子得了数学大奖，嫉妒之下竟然一脚从窗户把儿子踹到了室外。
1696年，约翰.贝努力（ John Bernoulli）在《教师学报》的杂志上面提出最速降线问题，公开针对他的哥哥雅克比.贝努力（Jacobi.Bernoulli）,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年约翰求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志是莱布尼茨主办的，影响很大，欧洲的所有杰出数学家都尝试这来做这个问题。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，莱布尼茨的,还有一个罗必达侯爵的 ，然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳匿名的。
这个问题陈述起来很简单，就是平面上有两个点A，B，这两个点连线既不是水平也不是垂直，试寻找连接这两个点的曲线，使得靠自身重力的一个小球能用最快时间从这点滑到那点（摩擦阻力不计）。
据说当年牛顿已经从科学第一线退了下来，揽到了皇家造币厂厂长的肥缺。劳累了一天以后，回家在壁炉前看到了贝努力的题，，熬夜到凌晨4点，就搞定了。贝努力看到这个匿名送来的答案，说道："我看到了狮子露出来了利爪。"在这么多解答当中，约翰的应该是最漂亮的，类比了费马光学原理作了出来，用光学一下做了出来。但是从影响来说，弟弟的做法真正体现了变分思想。 这个思想是把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便是曲线的函数，这就是泛函。类似于微积分求最大最小值的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是【变分法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子欧拉和法国的拉格朗日。
贝努力一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是丹尼尔.贝努力（Daniel Bernoulli，他是约翰.贝努力的儿子）有一次正在做穿越全欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍："我是丹尼尔 .贝努力。"那个人当时就怒了，说："我是还是伊萨克.牛顿呢。"从此之后在很多的场合丹尼尔都深情的回忆起这一次经历，把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
牛顿去世后，有人写诗赞美他：
宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里
神说：让牛顿降生吧
于是一切都成了光明。
贝努力家族对数学最大的贡献还不是在数学本身，而是发现了欧拉。
四 数学英雄欧拉（Euler）
要问在历史上这些数学家中我最佩服谁，那肯定是欧拉。
欧拉小学就被开除了，因为他问的问题太多，给老师太多的难堪。有人说欧拉是先会算术后会说话的，高斯也是这样，高斯一岁时就能发现父亲账本上计算的错误，不过这肯定是传说。但是欧拉很小就知道等周原理：在周长固定的所有图形，面积最大的一定是圆。
大名鼎鼎的约翰.贝努力是欧拉父亲的朋友，第一次见到六岁的欧拉就被欧拉问住了："我知道一个数6，它有因数1，2，3，6，加起来是6的2倍；还有一个数28，有因数1，2，4，7，14，28，加起来也是28的2倍，还有多少这样的数？"这类数叫做完全数，还是欧拉，最终给出了偶数完全数的表达式，那是后来的事情了。对于奇数的情形，谁要是能正确证明有或者没有，现在肯定能拿到数学最高奖。欧拉17岁获得了瑞士巴赛尔大学的硕士学位，欧拉太专注数学，以至于贝努力不得不规定，吃饭时间不许看书。他19岁时被俄罗斯卡德琳娜女王邀请到彼得堡科学院从事研究。
欧拉解决的问题实在太多了，解决问题过程中创造出的方法不知开创了多少个数学分支。欧拉因为解决著名的七桥问题开创了拓扑学，歌德巴赫猜想是因为歌德巴赫和欧拉的通信而出名的。任何一个正整数都一定能写成不超过四个平方数之和是欧拉最早证明的，这可是将近两千年无人解决的问题。数论，几何，力学，天体力学，到处留下欧拉的足迹。现代数学的符号和表达式，如三角，指数，e，i，π 等等，都是欧拉创立的。历史上第一本流行的微积分教科书也是欧拉写的。后来所有的微积分教科书，或者是抄袭欧拉的，或者是抄袭抄袭欧拉的。
欧拉研究数学，就像人在呼吸，鸟在飞翔一样自由和自在。
欧拉早就发现了‘变分法'可是当他发现法国人拉格朗日也有这类思想时，就把自己的藏起来不发表，把出名的机会留给年轻人。
欧拉由于看书过多，年轻时就瞎了一只眼睛，到59岁时，他的左眼也逐渐失明了。正当他抢在完全失明前抢救资料时，一场大火烧毁了他的一切资料。
欧拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理。
欧拉的两个学生因为计算一个无穷级数答案不一样发生争执，失明的欧拉用心算找出了小数点后第50位的错误，结果证明这两个学生都算错了。这就是欧拉。
五 业余高手（1）
在当今日益专业话的分工下，无论是竞技项目还是专业领域，业余爱好者也许永远达不到专业人员的水平。就拿围棋为例，每年中国的专业vs业余最高对抗赛，尽管专业棋手让两个子，可是业余棋手还是几乎全军覆没,象棋领域也大概如此。不过韩国围棋高手刘昌赫曾经是业余棋手，但最后达到了专业超一流棋手的水平。象棋全国冠军陶汉明曾经是业余棋手起家，曾经取得过全国亚军的金波也是业余棋手。不过这些只是极端个别的例子。
在数学发展起步时期，业余数学家取得了骄人的成绩。依我看，费尔马（Femart）应该是自古以来没有与之相比的，估计今后也不会有超越他的业余数学家了。费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的业余数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。费马提出了光线沿最快的路径行进的原理，进而揭示了隐藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原来只有服从折射定律，才能保证光线从一点到达另一点用的时间最短。费马在数论上为我们留下了大量的定理和猜想，其中相当一部分未给出证明。挑选这些‘定理'中最有趣的两个给大家介绍一下。
费尔马猜测，形如 2^(2^n)+1（这里符号‘^'表示幂，如4^2=16）的数都是素数，这类数成为费尔马数。对于n＝0，1，2，3，4，经过验证果然如此。不过对于n＝5，欧拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素数。有趣的对于其它的n，至今没发现一个费尔马数是素数。
下面说说著名的‘费马大定理'：那是费马去世后，人们整理他留下的笔记发现的。费马热衷于不定方程的研究。我想能够坚持读本文的读者应该都知道勾股定理，并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2，等等，这类数叫做勾股数（国际上叫毕达哥拉斯数），这类数究竟是怎样构造出来的，古希腊时期已经给出了完整的答案：如果x是偶数，且x和y没有公因数，那么必然有有一奇一偶两个正整数a，b，使得：x＝2ab，y＝a^2-b^2，z=a^2+b^2，其中a和b没有公因数。费尔马在阅读一本书叫做【丢番图方程】里面关于勾股数这部分时，在旁边写到：把一个整数的立方写成两个整数的立方之和，把一个整数的四次方写成两个整数的四次方之和，等等，都是不可能的。我已经找到了绝妙的证明，可惜这本数旁边的空白处太少了，我写不下来。
费尔马这个没有写下来的证明，天晓得到底存在还是不存在，可是他的这段话是坑了不少人。欧拉和高斯试图证明这个定理，最后都失败了。一战之前，曾经有个德国人悬赏十万马克给第一个证明费尔马大定理的人，一时许多业余高手都投入到这场奖金的争夺中，但是没有一个证明是正确的。一战以后，德国马克贬值，这笔奖金化作一堆废纸。有人问大数学家希尔伯特（Hilbert）为什么不试试证明这个定理，他说："这是只下金蛋的鹅，我为什么要杀掉它呢？"（意思是说这个定理能引诱好多人从事数学研究，不证明它更好。）
这个定理折磨了数学家整整三百年，直到1993年，一个叫怀尔斯的数学家用难以置信的方法给出了证明。1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。从1986年开始，这家伙七年时间没有发表任何论文，要是在中国他什么经费和津贴都别指望了。1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。演讲者就是是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景："虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束'，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。"因为他证明了这个大定理。不过说点题外的话，后来又发现他的证明有漏洞，又折磨了他一段时间，到1994年9月，他把所有的漏洞都堵上了。这个证明后来经过精练，已经缩短到130多页，最初的证明有400多页。怀尔斯一下子成了传媒的宠儿和明星，这是数学家少有的抛头露脸的机会，大概是费尔马大定理的内容通俗易懂而证明却持续了300多年吧。
怀尔斯的故事告诉我们：中国目前高校搞急功近利的唯文章数量评价水平的作法，肯定不会出现重大的研究成果。
六 业余高手（b）
提起业余数学家或者数学研究者，每次都使我肃然起敬。在中国，出于对数学中歌德巴赫猜想的兴趣而爱好数学的有一大批人，笔者有幸在互联网和生活中遇见到其中的几个。记得以前看到电视节目【东方时空】百姓故事栏目例介绍了一个业余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸馒头卖钱度日，却把大部分收入用在了歌德巴赫猜想上。虽然研究数学不用什么花销，可是购买资料请教问题要外出吧，要有路费和旅途上的费用吧。这些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特点，几乎都宣称自己证明出来了，可是却无法发表在公开出版的学术刊物上，或者被别人挑出错误可是自己还不能理解。在一些论坛上，经常看到有关歌德巴赫猜想的证明，有的看起来还很巧妙。比如我看到一个证明就用到了集合论中很深奥的‘良序公理'，这个公理和‘选择公理'等价。他巧妙的构造一系列集合，可惜他错误的理解了良序公理中‘任何集合都能被良序'，而一厢情愿的认为良序就是一类集合的包含。这些人抱着‘一夜成名'的心态的毕竟是少数，多数是出于对数学的热爱，却由于各种原因，没有机会走上专职研究数学的道路。
德国数学家外尔斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经，一度在在中学任教。这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。
微积分在创立初期，理论上还不够严密性，无穷小变成了神秘和随心所欲被理解的量。因此1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表了文章《向一个不信神的数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求x^n的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）^n，从中减去x^n以求得增量，并除以0以求出x^n的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。"无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
外尔斯特拉斯和法国的一些数学家一道，使得微积分无懈可击。
外耳斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。
1851年，大数学家高斯最得意的弟子黎曼，在博士论文中提出了一个原理：狄利赫来（Dirichlet）原理，利用这个‘原理'，可以美妙的解决变分中提出的一系列问题，并且在数学物理上有着广泛的应用。按照微积分理论，狄利赫来原理应该算是理所当然成立的。可是外尔斯特拉斯却说："不加证明的使用狄利赫来原理，是不严格的。"黎曼也是很谦虚的，便回应到："您说的对，不过这个原理肯定是正确的，很快我就会证明出来。"但是黎曼直到去世也没有证明出来，又是这个中学教师，举出了一个反例，彻底推翻了狄利赫来原理。于是黎曼博士论文中的一切结果都是值得怀疑的了。因此数学家卡尔.诺依曼叹息道："如此美妙而又有广泛应用前景的原理，已经永远从我们视野中消失了。"
1899年，旷世奇才希尔伯特（Hilbert）用了不到6页纸，通过附加一个条件，就消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理。更神奇的是，还挽救了黎曼的名声，因为用这个改造的原理发现黎曼所得的其它结果又都是正确的了。
这真是群星闪耀的年代，是数学家自由飞翔的年代。可惜一去不复返了。
七 天妒英才
下面要说到两个英年早逝的数学家，伽罗瓦和阿贝尔，不过要先从一个故事说起。
凡是受过初中教育的人都知道，任何一个一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，这大概是很久就有的公式了。其中根和系数的关系被称作韦达定理，有着广泛的应用。然而三次方程和四次方程甚至更高阶方程的求解公式一直不被人们所知。在文艺复兴时期，有个叫塔塔利亚的业余数学家首先得到了这个公式，不过他秘而不宣，这是当时搞研究的人的一个传统。可是，这个消息还是在寻求公式的一些业余数学家之间流传着。
有一个叫卡当的业余研究者找到了塔塔利亚，恳求得到塔塔利亚的真传。这个卡当在赌博上也不是一般的赌徒，是他在赌博中提出了概率的思想，他还热衷于炼金术，星象学。塔塔利亚肯定被卡当打动了，也许卡当常跪不起，也许甜言蜜语，总之塔塔利亚告诉了他自己知道的一些公式。卡当学到手求解公式后就离开了塔塔利亚，甚至把对塔塔利亚许下的诺言抛到了九霄云外，写出了一本术，名字叫做‘大术'，介绍了三次方程四次方程的求解方法。于是卡当声名雀起，因为他在书中宣称这些公式是他自己发现的。
两个人的争执开始了，解决争端的方法很简单，来一场决斗：两人各自给对方出20道题，看谁先解出来。塔塔利亚大获全胜，卡当一道题都没有解出来，因为塔塔利亚教他时留了一招，没有把公式的一般情况告诉卡当。这大概是人类历史上的第一场数学竞赛，参赛这只有两个人，这个故事发生在四百多年前。不过至今这些公式还被称作卡当公式，而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是‘结结巴巴的人'的意思。
历史就像一条河流，沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和马粪。
三次四次方程求根公式得到了以后，人们寻求五次和五次以上方程的求解公式。可是欧拉高斯等杰出数学家都没有找到求解公式，成了当时数学的难题。有两个青年匆匆的来到了这个世界，又匆匆的离开了，也许他们来到人世的目的就是为了给我们一些惊讶和慨叹。
尼尔斯·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。阿贝尔幸运的碰到了一个有数学头脑却无多大数学成果的老师，老师很快发现他的数学才能，使得他很早就接触到了微积分。在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题。在19岁那年，他证明了一般五次方程求解公式不存在，就是说，不能用方程系数和开根号的有限多次运算来表示方程的根。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给国内外的一些数学家，包括数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜他的文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题―――连他还没法子解决的问题。他看都没看一眼，就把它扔在书堆里了。阿贝尔的另一篇论文是他在欧洲旅行时通过别人转交给大数学家柯西（Cauchy）手里，柯西连看都没看就扔到纸篓里。
华人中最杰出的数学家陈省身最近去世了。在弥留之际，他一直在说："送我去希腊。"就像麦加是伊斯兰的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一样，数学家和哲学家心中的圣地就是希腊。古希腊群星璀璨，亚里士多德，苏格拉底，阿基米德这样的博学而又智慧的大家让其它民族望尘莫及。有记载第一位哲学家和数学家是泰勒斯，哲学是从泰勒斯开始的，他预言过一次日蚀，所以我们就很幸运地能够根据这件事实来断定他的年代；据天文学家说，这次日蚀出现于公元前585年。他第一次证明了在圆上，直径所对应的圆周角是90度，这也标志这几何学的诞生和证明的开始。希腊人中能产生那么多哲学家和数学家，几乎可以肯定的是那里的公民有辩论的自由，他们崇尚逻辑思维而不是崇尚武力。
毕达哥拉斯算是希腊数学家中的一个杰出的人物，他创立的有理数的概念至今对于一些受过高等教育的中国人还是一个难的东西。说它难，其实不难，关键是学习知识太功利，彻底搞清这个概念远远比背诵一段政治容易。我上【高等数学】课时，几乎年年有人问我："老师，学习这个有什么用？"希腊的欧几里德碰到谁问他这个问题，从兜里拿出一个硬币，告诉仆人："把这个硬币给他，他问学几何有什么用，学几何不能赚钱，让他拿这个硬币走吧！"
毕达哥拉斯是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。不仅关于他的传说几乎是一堆难分难解的真理与荒诞的混合，而且即使是在这些传说的最单纯最少争论的形式里，它们也向我们提供了一种最奇特的心理学。他建立了一种宗教，主要的教义是灵魂的轮回和吃豆子的罪恶性。他的宗教体现为一种宗教团体，这一教团到处取得了对于国家的控制权并建立起一套圣人的统治。但是未经改过自新的人渴望着吃豆子，于是就迟早都反叛起来了。
毕达哥拉斯教派有一些规矩是：
1．禁食豆子。
2．东西落下了，不要拣起来。
3．不要去碰白公鸡。
4．不要擘开面包。
5．不要迈过门闩。
6．不要用铁拨火。
7．不要吃整个的面包。
8．不要招花环。
9．不要坐在斗上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房里不许有燕子。
13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁边照镜子。
15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。
毕达哥拉斯在代数上的主张是认为数是万物之源，并且认为一切数都能写成两个自然数相除的形式。毕达哥拉斯的在几何上最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为3，4，5的话，则必有一个直角。但是第一个给出严格证明的却是毕达哥拉斯，因此这个定理也被冠以他的名字。这个定理在中国被称作勾股定理，不过至今没有得到广泛的承认。
然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数(无理数)的发现，这似乎否定了他的全部哲学。他的一个学生用毕达哥拉斯定理证明了：当正方形的边长是1时，对角线长度不能用任何两个整数相除来表示，也就是说不是有理数。这刚好否定了毕达哥拉斯关于数的存在都是有理的（rational）的想法，这个学生的发现导致了他的丧命：被教众抛进了大海。这次事件被称作数学历史上的第一次危机，它否定了一切数都是有理数的结论。直到18－19世纪，关于微积分严格性的讨论才对第一次数学危机给出了解答。
二 不懂几何者不许入内和阿基米德的裸奔
现在中学生学习的平面几何，都是来源于两千多年前的一本奇书：《几何原本》，它是古希腊数学家欧几里得的一部不朽杰作，是当时整个希腊数学方法和数学思想的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学的发展有着不可估量的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经翻译和修订的次数更是不胜枚举，自1482年第一个印刷本出版以来，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》却有着超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，是《圣经》所无法比拟的。《几何原本》的希腊原始抄本现在已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。
《几何原本》对于数学的影响是不可估量的，它是人类历史上第一次采用公理化的体系来讨论数学。就是先假定一些命题是不加证明而认可的，所有的定理和结论都是建立在这些公理的逻辑演绎之上。至今中学生所学的平面几何和立体几何都没有超出《几何原本》的范围，因此可以说这是对人类思想影响最远的数学书。现代数学的公理化方法都是来源于欧几里德的这本书《几何原本》。
古人学习几何更是困难，据说当学到‘一个等腰三角形的两个底角相等'这个定理时，好多人就无论怎样都学不会了，因此这个定理又叫‘驴子的梯子'，指它难住了一大批人。直到现在，平面几何的一些知识或者立体几何的一些定理仍然难住了一大批人，大概学习数学需要一些天赋吧。因此当国王多禄米向欧几里德讨教学习几何的捷径时，欧几里德告诉他："在几何里面，没有为国王提供的捷径。"
在数学上，古希腊人提出"三大问题"：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。这类问题直到近代群论的出现，才得以得到解决，这三个问题都是不可解的。
阿基米德就是学习《几何原本》的学生中最杰出的一位。他11岁便离开家乡到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习《几何原本》，按辈份他应该是欧几里德的徒孙。他在数学和物理上所创造的奇迹使他成为人类历史上最杰出的科学家。一个著名的故事是：叙拉古的亥厄洛国王委托金匠造一顶纯金的皇冠，但是怀疑里面被掺了银子，当然不可能通过把皇冠割开来检验这个王冠，于是便请阿基米德鉴定一下。一次当他洗澡时正在冥思苦想，这时水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼："尤里卡！尤里卡！"（我发现了），于是便开始在大街上裸奔起来了，一直跑到家里。
他在数学上的发现创造更是数不胜数，阿基米德螺线，抛物线上的弓形求面积方法含有现代积分思想，求圆的面积，球的表面积和体积的公式，圆周率的求法和误差估计，等等，直到现在，全世界活着的人中，至少还有百分之六十的人数学知识比不上两千年前的阿基米德。
阿基米德的死也具有传奇色彩，甚至可以编成一部精彩的电影。公元前212年，罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，他们看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵们将沙盘踩坏。阿基米德怒斥士兵："不要弄坏我的图！"士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。还有一个版本是他死前说的话是："让我做完最后一道题。"
关于阿基米德在数学史上的地位，美国的数学史学家E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的："任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。"
三 牛顿时代就有马甲
从古希腊数学到近代微积分的产生，中间经历了漫长的停滞不前的年代。期间，各国都产生了一些杰出数学家和一些成果，但是这些成果都是零星的非本质的。期间中国最引以自豪的数学家是祖冲之，他计算出圆周率到小数点后7位。
在十七世纪中叶以后，数学知识的火山似乎在一夜之间爆发了。其中以微积分为代表的变量数学彻底改变了人们的数学思想和方法，解决了物理上提出的大量问题，并且给出了用传统方法想都不敢想的问题的解法。在微积分发现的优先权的争执上，英国数学家和大陆数学家产生了严重纠纷。牛顿于是用了好多编造的名字来‘证明'莱布尼茨的知识不是原创而是抄袭牛顿的。其言辞之尖刻、辱骂之恶毒令人难以想像。莱布尼茨死后，牛顿还津津乐道的向别人讲述怎样用马甲使莱布尼茨伤透了心，并沾沾自喜。
这个时代，法国的贝努力（Bernoulli）家族是一个数学家族，三代出现了十多位杰出的数学家。 这个家族人的脾气都不太好，最奇怪的他们是开始都不是从事数学，可是到后来全部迷上了数学。父亲因为儿子得了数学大奖，嫉妒之下竟然一脚从窗户把儿子踹到了室外。
1696年，约翰.贝努力（ John Bernoulli）在《教师学报》的杂志上面提出最速降线问题，公开针对他的哥哥雅克比.贝努力（Jacobi.Bernoulli）,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年约翰求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志是莱布尼茨主办的，影响很大，欧洲的所有杰出数学家都尝试这来做这个问题。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，莱布尼茨的,还有一个罗必达侯爵的 ，然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳匿名的。
这个问题陈述起来很简单，就是平面上有两个点A，B，这两个点连线既不是水平也不是垂直，试寻找连接这两个点的曲线，使得靠自身重力的一个小球能用最快时间从这点滑到那点（摩擦阻力不计）。
据说当年牛顿已经从科学第一线退了下来，揽到了皇家造币厂厂长的肥缺。劳累了一天以后，回家在壁炉前看到了贝努力的题，，熬夜到凌晨4点，就搞定了。贝努力看到这个匿名送来的答案，说道："我看到了狮子露出来了利爪。"在这么多解答当中，约翰的应该是最漂亮的，类比了费马光学原理作了出来，用光学一下做了出来。但是从影响来说，弟弟的做法真正体现了变分思想。 这个思想是把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便是曲线的函数，这就是泛函。类似于微积分求最大最小值的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是【变分法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子欧拉和法国的拉格朗日。
贝努力一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是丹尼尔.贝努力（Daniel Bernoulli，他是约翰.贝努力的儿子）有一次正在做穿越全欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍："我是丹尼尔 .贝努力。"那个人当时就怒了，说："我是还是伊萨克.牛顿呢。"从此之后在很多的场合丹尼尔都深情的回忆起这一次经历，把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
牛顿去世后，有人写诗赞美他：
宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里
神说：让牛顿降生吧
于是一切都成了光明。
贝努力家族对数学最大的贡献还不是在数学本身，而是发现了欧拉。
四 数学英雄欧拉（Euler）
要问在历史上这些数学家中我最佩服谁，那肯定是欧拉。
欧拉小学就被开除了，因为他问的问题太多，给老师太多的难堪。有人说欧拉是先会算术后会说话的，高斯也是这样，高斯一岁时就能发现父亲账本上计算的错误，不过这肯定是传说。但是欧拉很小就知道等周原理：在周长固定的所有图形，面积最大的一定是圆。
大名鼎鼎的约翰.贝努力是欧拉父亲的朋友，第一次见到六岁的欧拉就被欧拉问住了："我知道一个数6，它有因数1，2，3，6，加起来是6的2倍；还有一个数28，有因数1，2，4，7，14，28，加起来也是28的2倍，还有多少这样的数？"这类数叫做完全数，还是欧拉，最终给出了偶数完全数的表达式，那是后来的事情了。对于奇数的情形，谁要是能正确证明有或者没有，现在肯定能拿到数学最高奖。欧拉17岁获得了瑞士巴赛尔大学的硕士学位，欧拉太专注数学，以至于贝努力不得不规定，吃饭时间不许看书。他19岁时被俄罗斯卡德琳娜女王邀请到彼得堡科学院从事研究。
欧拉解决的问题实在太多了，解决问题过程中创造出的方法不知开创了多少个数学分支。欧拉因为解决著名的七桥问题开创了拓扑学，歌德巴赫猜想是因为歌德巴赫和欧拉的通信而出名的。任何一个正整数都一定能写成不超过四个平方数之和是欧拉最早证明的，这可是将近两千年无人解决的问题。数论，几何，力学，天体力学，到处留下欧拉的足迹。现代数学的符号和表达式，如三角，指数，e，i，π 等等，都是欧拉创立的。历史上第一本流行的微积分教科书也是欧拉写的。后来所有的微积分教科书，或者是抄袭欧拉的，或者是抄袭抄袭欧拉的。
欧拉研究数学，就像人在呼吸，鸟在飞翔一样自由和自在。
欧拉早就发现了‘变分法'可是当他发现法国人拉格朗日也有这类思想时，就把自己的藏起来不发表，把出名的机会留给年轻人。
欧拉由于看书过多，年轻时就瞎了一只眼睛，到59岁时，他的左眼也逐渐失明了。正当他抢在完全失明前抢救资料时，一场大火烧毁了他的一切资料。
欧拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理。
欧拉的两个学生因为计算一个无穷级数答案不一样发生争执，失明的欧拉用心算找出了小数点后第50位的错误，结果证明这两个学生都算错了。这就是欧拉。
五 业余高手（1）
在当今日益专业话的分工下，无论是竞技项目还是专业领域，业余爱好者也许永远达不到专业人员的水平。就拿围棋为例，每年中国的专业vs业余最高对抗赛，尽管专业棋手让两个子，可是业余棋手还是几乎全军覆没,象棋领域也大概如此。不过韩国围棋高手刘昌赫曾经是业余棋手，但最后达到了专业超一流棋手的水平。象棋全国冠军陶汉明曾经是业余棋手起家，曾经取得过全国亚军的金波也是业余棋手。不过这些只是极端个别的例子。
在数学发展起步时期，业余数学家取得了骄人的成绩。依我看，费尔马（Femart）应该是自古以来没有与之相比的，估计今后也不会有超越他的业余数学家了。费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的业余数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。费马提出了光线沿最快的路径行进的原理，进而揭示了隐藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原来只有服从折射定律，才能保证光线从一点到达另一点用的时间最短。费马在数论上为我们留下了大量的定理和猜想，其中相当一部分未给出证明。挑选这些‘定理'中最有趣的两个给大家介绍一下。
费尔马猜测，形如 2^(2^n)+1（这里符号‘^'表示幂，如4^2=16）的数都是素数，这类数成为费尔马数。对于n＝0，1，2，3，4，经过验证果然如此。不过对于n＝5，欧拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素数。有趣的对于其它的n，至今没发现一个费尔马数是素数。
下面说说著名的‘费马大定理'：那是费马去世后，人们整理他留下的笔记发现的。费马热衷于不定方程的研究。我想能够坚持读本文的读者应该都知道勾股定理，并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2，等等，这类数叫做勾股数（国际上叫毕达哥拉斯数），这类数究竟是怎样构造出来的，古希腊时期已经给出了完整的答案：如果x是偶数，且x和y没有公因数，那么必然有有一奇一偶两个正整数a，b，使得：x＝2ab，y＝a^2-b^2，z=a^2+b^2，其中a和b没有公因数。费尔马在阅读一本书叫做【丢番图方程】里面关于勾股数这部分时，在旁边写到：把一个整数的立方写成两个整数的立方之和，把一个整数的四次方写成两个整数的四次方之和，等等，都是不可能的。我已经找到了绝妙的证明，可惜这本数旁边的空白处太少了，我写不下来。
费尔马这个没有写下来的证明，天晓得到底存在还是不存在，可是他的这段话是坑了不少人。欧拉和高斯试图证明这个定理，最后都失败了。一战之前，曾经有个德国人悬赏十万马克给第一个证明费尔马大定理的人，一时许多业余高手都投入到这场奖金的争夺中，但是没有一个证明是正确的。一战以后，德国马克贬值，这笔奖金化作一堆废纸。有人问大数学家希尔伯特（Hilbert）为什么不试试证明这个定理，他说："这是只下金蛋的鹅，我为什么要杀掉它呢？"（意思是说这个定理能引诱好多人从事数学研究，不证明它更好。）
这个定理折磨了数学家整整三百年，直到1993年，一个叫怀尔斯的数学家用难以置信的方法给出了证明。1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。从1986年开始，这家伙七年时间没有发表任何论文，要是在中国他什么经费和津贴都别指望了。1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。演讲者就是是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景："虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束'，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。"因为他证明了这个大定理。不过说点题外的话，后来又发现他的证明有漏洞，又折磨了他一段时间，到1994年9月，他把所有的漏洞都堵上了。这个证明后来经过精练，已经缩短到130多页，最初的证明有400多页。怀尔斯一下子成了传媒的宠儿和明星，这是数学家少有的抛头露脸的机会，大概是费尔马大定理的内容通俗易懂而证明却持续了300多年吧。
怀尔斯的故事告诉我们：中国目前高校搞急功近利的唯文章数量评价水平的作法，肯定不会出现重大的研究成果。
六 业余高手（b）
提起业余数学家或者数学研究者，每次都使我肃然起敬。在中国，出于对数学中歌德巴赫猜想的兴趣而爱好数学的有一大批人，笔者有幸在互联网和生活中遇见到其中的几个。记得以前看到电视节目【东方时空】百姓故事栏目例介绍了一个业余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸馒头卖钱度日，却把大部分收入用在了歌德巴赫猜想上。虽然研究数学不用什么花销，可是购买资料请教问题要外出吧，要有路费和旅途上的费用吧。这些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特点，几乎都宣称自己证明出来了，可是却无法发表在公开出版的学术刊物上，或者被别人挑出错误可是自己还不能理解。在一些论坛上，经常看到有关歌德巴赫猜想的证明，有的看起来还很巧妙。比如我看到一个证明就用到了集合论中很深奥的‘良序公理'，这个公理和‘选择公理'等价。他巧妙的构造一系列集合，可惜他错误的理解了良序公理中‘任何集合都能被良序'，而一厢情愿的认为良序就是一类集合的包含。这些人抱着‘一夜成名'的心态的毕竟是少数，多数是出于对数学的热爱，却由于各种原因，没有机会走上专职研究数学的道路。
德国数学家外尔斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经，一度在在中学任教。这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。
微积分在创立初期，理论上还不够严密性，无穷小变成了神秘和随心所欲被理解的量。因此1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表了文章《向一个不信神的数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求x^n的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）^n，从中减去x^n以求得增量，并除以0以求出x^n的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。"无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
外尔斯特拉斯和法国的一些数学家一道，使得微积分无懈可击。
外耳斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。
1851年，大数学家高斯最得意的弟子黎曼，在博士论文中提出了一个原理：狄利赫来（Dirichlet）原理，利用这个‘原理'，可以美妙的解决变分中提出的一系列问题，并且在数学物理上有着广泛的应用。按照微积分理论，狄利赫来原理应该算是理所当然成立的。可是外尔斯特拉斯却说："不加证明的使用狄利赫来原理，是不严格的。"黎曼也是很谦虚的，便回应到："您说的对，不过这个原理肯定是正确的，很快我就会证明出来。"但是黎曼直到去世也没有证明出来，又是这个中学教师，举出了一个反例，彻底推翻了狄利赫来原理。于是黎曼博士论文中的一切结果都是值得怀疑的了。因此数学家卡尔.诺依曼叹息道："如此美妙而又有广泛应用前景的原理，已经永远从我们视野中消失了。"
1899年，旷世奇才希尔伯特（Hilbert）用了不到6页纸，通过附加一个条件，就消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理。更神奇的是，还挽救了黎曼的名声，因为用这个改造的原理发现黎曼所得的其它结果又都是正确的了。
这真是群星闪耀的年代，是数学家自由飞翔的年代。可惜一去不复返了。
七 天妒英才
下面要说到两个英年早逝的数学家，伽罗瓦和阿贝尔，不过要先从一个故事说起。
凡是受过初中教育的人都知道，任何一个一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，这大概是很久就有的公式了。其中根和系数的关系被称作韦达定理，有着广泛的应用。然而三次方程和四次方程甚至更高阶方程的求解公式一直不被人们所知。在文艺复兴时期，有个叫塔塔利亚的业余数学家首先得到了这个公式，不过他秘而不宣，这是当时搞研究的人的一个传统。可是，这个消息还是在寻求公式的一些业余数学家之间流传着。
有一个叫卡当的业余研究者找到了塔塔利亚，恳求得到塔塔利亚的真传。这个卡当在赌博上也不是一般的赌徒，是他在赌博中提出了概率的思想，他还热衷于炼金术，星象学。塔塔利亚肯定被卡当打动了，也许卡当常跪不起，也许甜言蜜语，总之塔塔利亚告诉了他自己知道的一些公式。卡当学到手求解公式后就离开了塔塔利亚，甚至把对塔塔利亚许下的诺言抛到了九霄云外，写出了一本术，名字叫做‘大术'，介绍了三次方程四次方程的求解方法。于是卡当声名雀起，因为他在书中宣称这些公式是他自己发现的。
两个人的争执开始了，解决争端的方法很简单，来一场决斗：两人各自给对方出20道题，看谁先解出来。塔塔利亚大获全胜，卡当一道题都没有解出来，因为塔塔利亚教他时留了一招，没有把公式的一般情况告诉卡当。这大概是人类历史上的第一场数学竞赛，参赛这只有两个人，这个故事发生在四百多年前。不过至今这些公式还被称作卡当公式，而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是‘结结巴巴的人'的意思。
历史就像一条河流，沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和马粪。
三次四次方程求根公式得到了以后，人们寻求五次和五次以上方程的求解公式。可是欧拉高斯等杰出数学家都没有找到求解公式，成了当时数学的难题。有两个青年匆匆的来到了这个世界，又匆匆的离开了，也许他们来到人世的目的就是为了给我们一些惊讶和慨叹。
尼尔斯·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。阿贝尔幸运的碰到了一个有数学头脑却无多大数学成果的老师，老师很快发现他的数学才能，使得他很早就接触到了微积分。在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题。在19岁那年，他证明了一般五次方程求解公式不存在，就是说，不能用方程系数和开根号的有限多次运算来表示方程的根。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给国内外的一些数学家，包括数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜他的文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题―――连他还没法子解决的问题。他看都没看一眼，就把它扔在书堆里了。阿贝尔的另一篇论文是他在欧洲旅行时通过别人转交给大数学家柯西（Cauchy）手里，柯西连看都没看就扔到纸篓里。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2005-11-18
高斯非常聪明，老师在课堂上出了一道算术题，要学生们计算出前100个自然数相加之和，一般的同学采取逐个相加的办法计算得头昏脑胀，而高斯几乎不加思索就算出了答案。他是注意到这个算术级数的规律，100+1=101，99+2=101……共50对数，答案是5050本回答被提问者采纳
第2个回答 2019-09-06
数学家高斯的故事
第3个回答 2005-11-18
古代数学家丢番图的墓碑上写着这样的一道数学题：他的生命1/6是幸福的童年，在他生命的1/7时结了婚，5年后他有了一个儿子感道很幸福，但儿子只活了他父亲的1/2就死了。在悲痛中，他熬过了11年后便去世了。
问：（1）丢番图什么时候结的婚？
（2）儿子死时丢番图是多少岁？
（3）丢番图活了多少岁？
答案—解：(1)设丢番图活了x岁，那么
1/6x + 1/7x + 5 +1/2x + 11 = x
7/42x + 6/42x + 21/42 + 16 = x
x - 34/42x = 16
8/42x = 16
x = 84
(2) 84 X 1/2 = 42
(3) 84 X 1/7 = 12
答：丢番图结婚时是12岁，他儿子活了42岁，他活了84岁.
问：（1）丢番图什么时候结的婚？
（2）儿子死时丢番图是多少岁？
（3）丢番图活了多少岁？
答案—解：(1)设丢番图活了x岁，那么
1/6x + 1/7x + 5 +1/2x + 11 = x
7/42x + 6/42x + 21/42 + 16 = x
x - 34/42x = 16
8/42x = 16
x = 84
(2) 84 X 1/2 = 42
(3) 84 X 1/7 = 12
答：丢番图结婚时是12岁，他儿子活了42岁，他活了84岁.
第4个回答 2019-11-02
十个数学家的故事?
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瑞士数学家欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职。有一次，俄国女皇邀请法国哲学家狄德罗访问她的宫廷。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的...
十个数学家的故事 50个字
1.Daniel Bernoulli（丹尼尔·伯努利）有一次在周游欧洲的火车上，和一个陌生人闲聊，他很谦虚地自我介绍说：“我是Daniel Bernoulli。"对方当时就很生气，说：“我还是Issac Newton（牛顿）呢。”2.Hilbert（希尔伯特）曾经有一个学生，写过一篇论文来证明Riemann（黎曼）猜想，Hilbert非常赞赏。但是后来，...
有哪些伟大数学家的故事(短一点)
伟大数学家的故事 1. 欧拉的故事 欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他才华横溢，做出了众多突出贡献。欧拉曾经在梦中找到了一个公式的新思路，并且把这种数学境界带进了真实世界。据说他的灵感在睡梦中得到了突破，他的才华使得他在数学的道路上走得更远。欧拉留下的著作，对后世数学家影响深远。欧拉以...
你知道哪些著名的数学家故事?
1、蒲丰试验 一天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家里,做了一次试验.蒲丰在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半.蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！”客人们按他说的做了。蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，...
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