求阿喀琉斯悖论解释

Question

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段；……因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得多快，他永远追不上乌龟。

谁来解释一下

Answer 1

这是运用了有限时间的无限可分性。
设最开始时英雄与乌龟相距S，英雄速度为V1，乌龟速度为V2
英雄跑S时所需时间为T1=S/v1，此时乌龟又走了S1=V2*(S/V1)
英雄跑S1时所需的时间为T2=S1/V1，此时乌龟又走了S2=V2(S1/V1)
……
可知T1、T2……Tn为公比为以S/V1为首项、公比为V2/V1的等比数列。（0<V2<V1)
因为公比在0~1之间，根据等比数列的求和公式，
所有项数和=a1/(1-q)；把a1=S/V1、q=v2/v1代入可得：
英雄追上乌龟所需的总时间为：
T(总)= (S/V1)/(1-v2/v1)=S/(V1-V2)
跟直接计算结果是一样的。