曲面积分 设∑是柱面x^2+y^2=a^2在0<z<h之间的部分,则∫∫x^2ds=？为什么此题

Question

曲面积分 设∑是柱面x^2+y^2=a^2在0<z<h之间的部分,则∫∫x^2ds=？为什么此题可以用轮换对称性？

Answer 1

因为积分曲面上满足f(x,y)=x^2+y^2=f(y,x)=y^2+x^2=a^2
所以∫∫x^2dS=∫∫y^2dS
那么原积分=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dS=(a^2/2)∫∫dS=(a^2/2)(2πah)=πa^3h

追问

但这是三维图形啊，难道对称性与z无关吗

追答

无关，这个对称性的意思是，曲面上一点(x,y)关于平面y=x的对称点(y,x)，也在这个曲面上。