对角互补的四边形四点共圆怎么证？

Answer 1

用切割线定理证明：

圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 

如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π， 

角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）  

角CBE=角ADE（外角等于内对角） 

△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割线定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）

（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

其他的证明四点共圆的基本原理： 

方法1： 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

Answer 2

用切割线定理证明：

圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 

如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π， 

角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）  

角CBE=角ADE（外角等于内对角） 

△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割线定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）

（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

圆内接四边形判定定理

1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆；

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆；

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆；

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆；

5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆；

以上内容参考 百度百科—圆内接四边形

Answer 3

证明：用反证法

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，

∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

反证法的逻辑原理

逆否命题和原命题的真假性相同。

若原命题：为真

先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p且¬q。

从结论的反面出发，推出矛盾，即命题：¬q且p为假（即存在矛盾）。

从而该命题的逆否为真。

再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p⇒q为真。

Answer 4

要证明对角互补的四边形四点共圆，我们可以使用数学的几何证明方法。
假设我们有一个四边形ABCD，其中对角线AC和BD互补（即垂直且交于一点O）。我们需要证明四个顶点A、B、C和D共圆，即它们在同一个圆上。

证明过程如下：

Step 1: 通过点O，画一条垂直于线段AC的直线，交线段AC于点E。

Step 2: 由于AC和BD互补，所以∠AOC = ∠BOD = 90度。

Step 3: 由于∠AOC = 90度，所以三角形AOC是一个直角三角形，因此AO和OC垂直。

Step 4: 由于OE垂直于AC，所以OE也垂直于AO。

Step 5: 根据步骤3和步骤4，我们可以得出结论，AE是四边形ABCD的一个直径。

Step 6: 同样地，可以通过点O，画一条垂直于线段BD的直线，交线段BD于点F，并得出结论，BF是四边形ABCD的另一个直径。

Step 7: 因为AE和BF是四边形ABCD的两个直径，所以它们的交点O是该圆的圆心。

Step 8: 由于四边形ABCD的对角线的交点O是圆心，所以四个顶点A、B、C和D共圆。

因此，根据上述证明过程，我们可以得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

Answer 5

对角互补的四边形是指四边形的两个对角线互相垂直。当四边形的四个顶点都位于同一个圆上时，我们称之为四边形的四点共圆。要证明对角互补的四边形的四个顶点共圆，可以使用以下证明方法：

证明：设四边形ABCD为对角互补的四边形，即对角线AC与BD互相垂直。

步骤1：连接AD、BC两条线段。

步骤2：通过点A和点C作圆心分别画两个圆，分别与线段AD和线段BC相切于点E和点F。

步骤3：证明AE = CE，BF = DF。

通过连接线段DE和线段CF，我们可以得到三角形AED和三角形CEF是等腰直角三角形。根据等腰直角三角形的性质，我们可以得出AE = CE，BF = DF。

步骤4：证明四边形AECF是一个平行四边形。

由步骤3可知，AE = CE，BF = DF，又AC = BD（对角线互相垂直），根据对角线的性质，我们可以得知四边形AECF是一个平行四边形。

步骤5：证明点B位于圆心O上。

由于四边形AECF是一个平行四边形，AE || CF，CE || AF，根据平行四边形的性质，我们可以得知四边形AECF是一个梯形，而梯形的对角线中点连线恰好是梯形的高，并且垂直于底边，所以线段OC垂直于线段AE和线段CF，并且线段OC平分线段AE和线段CF。因此，点B位于圆心O上。

步骤6：结论

由于四边形AECF的顶点A、E、C、F位于同一个圆上，且点B位于该圆上，因此我们可以得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆。