怎么判断函数极限的存在与否？

Answer 1

要判断一个函数在某一点的左极限和右极限是否存在且相等，可以采用以下方法：

1. 直接计算左极限和右极限的值，看它们是否相等。如果两个极限的值相等，则函数在该点处存在极限，并且左右极限相等。

2. 利用函数的奇偶性或周期性等性质，判断左右极限是否相等。例如，对于一个奇函数，其左右极限必须相等；对于一个周期函数，如果周期内的左右极限相等，则整个函数在整个周期内的左右极限也相等。

3. 根据函数的定义区间和极限的定义，利用夹逼定理等方法判断左右极限是否相等。例如，可以构造两个函数g(x)和h(x)，使得g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim(x→c) g(x) = lim(x→c) h(x)，那么根据夹逼定理，f(x)在c处的极限存在且等于这个共同的极限值。

需要注意的是，在有些情况下，函数在某一点的左右极限可能不存在或者无穷大，这时候就不能直接判断左右极限是否相等，需要根据具体情况进行分析。

Answer 2

判断函数极限的存在与否，可以通过以下几种方法进行判断：

定义法：根据极限的定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε恒成立，则称函数f(x)在x0处的极限为A。

柯西收敛准则：如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当|x-x0|<δ时，对于任意的正整数n，都有|f(x+n)-f(x)|<ε恒成立，则称函数f(x)在x0处的极限为A。

极限的运算性质：如果lim[f(x), x→a]=A，且lim[g(x), x→a]=B，则有以下运算性质：
(1) 加法运算：lim[f(x)+g(x), x→a]=lim[f(x), x→a]+lim[g(x), x→a]=A+B
(2) 减法运算：lim[f(x)-g(x), x→a]=lim[f(x), x→a]-lim[g(x), x→a]=A-B
(3) 乘法运算：lim[f(x)g(x), x→a]=lim[f(x), x→a]×lim[g(x), x→a]=AB
(4) 除法运算：lim[f(x)/g(x), x→a]=lim[f(x), x→a] / lim[g(x), x→a]=A/B
注意：在进行除法运算时，需要先判断除数是否为0。如果除数为0，则无法进行除法运算。

夹逼定理：如果存在一个函数h(x)，使得f(x)在区间[a,b]上满足h(x)<=f(x)<=h(x)，且lim[h(x), x→a]=A，则lim[f(x), x→a]=A。
以上是判断函数极限存在与否的几种方法，根据具体情况选择合适的方法进行判断。