复变函数求实积分

Question

这题用到留数定理这题怎么解答呢？想了好久了

Answer 1

=π/18

方法如下图所示，请认真查看，祝学习愉快：

附π/4计算过程

追问

这题用到了留数定理，有思路嘛

Answer 2

极点z=+-2i，+-i，+-i，
积分=2pi*i*留数和

Answer 3

原式=(1/2)∫(-∞,∞)dx/[(x²+4)(x²+1)²]。
设f(z)=1/[(z²+4)(z²+1)²]，分子幂次数为0，分母的最高次数为6，因此其积分是存在的。
又，f(z)在上半平面Imz>0内，有一个一阶极点z1=2i、一个二阶极点z2=i。
根据柯西积分定理，原式=(1/2)*(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}=πi{Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，由留数定理，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)[(z-z1)f(z)]=1/(36i)；Res[f(z),z2]=lim(z→i)d[(z-i)²f(z)]/dz=-2lim(z→i)[z(z+i)+(z²+4)/[(z²+4)(z+i)³]=1/(36i)。
∴原式=π/18。
供参考。

Answer 4

待定系数法拆项
拆成A/(x²+4)+B/(x²+1)+C/(x²+1)²
A(x²+1)²+B(x²+1)(x²+4)+C(x²+4)=1
得A+B=0，2A+5B+C=0，A+4B+4C=1
A=1/9，B=－1/9，C=1/3
然后分别计算即可