实变函数——可测函数（1）——可测函数的定义及其性质（2）

Answer 1

在前一节中，我们已经探讨了可测函数的一些基本性质。接下来，我们将深入理解可测简单函数，通过它们来逼近一般可测函数。首先，让我们引入一个关键概念。

定义1：对于[公式]中的点，如果命题[公式]仅在除零测集外的所有点上都成立，我们称[公式]在[公式]上几乎处处为真，并记作[公式]。例如，当[公式]是[公式]上的可测函数，如果满足[公式]，则称[公式]与[公式]在[公式]上几乎处处相等，记为[公式]。

再者，如果[公式]是[公式]上的可测函数，且有[公式]，那么称[公式]在[公式]上几乎处处有限，记为[公式]。

定理1阐述了可测性的稳定性：如果[公式]是定义在[公式]上的广义实值函数，而[公式]是[公式]上的可测函数，并且[公式]成立，那么[公式]同样在[公式]上是可测的。这个定理表明，改变可测函数在零测集上的值，不会影响其可测性。

例1展示了如何通过局部有界化来处理可测函数：设[公式]和[公式]是[公式]上的可测函数，当满足[公式]时，可以找到[公式]以及自然数[公式]，使得[公式]成立。通过构造，我们可以找到适当的[公式]来满足要求。

定义2定义了简单函数，即由有限个特征函数线性组合而成的函数，如阶梯函数。当所有[公式]都是[公式]上的简单函数时，它们的组合也构成简单函数。而当这些线性组合的[公式]都是可测函数时，我们称这样的函数为可测简单函数，它们是研究可测函数的重要工具。

定理2（简单函数逼近定理）是关键的理论基础，它表明，如果[公式]是非负的可测函数，那么存在非负的可测简单函数序列[公式]，它们逐级逼近[公式]。对于一般可测函数，也存在可测简单函数序列[公式]，使得[公式]成立，并且当[公式]有界时，这种收敛是一致的。

最后，定义3引入了函数支集的概念，支集的闭包定义为[公式]。若支集是紧集，那么称[公式]为具有紧支集的函数。推论1指出，简单函数逼近定理中的可测简单函数序列可以进一步选择为具有紧支集的函数。