已知函数f(x)=√3sinwx*coswx-cos^2(wx)(w>0)的周期为π/2 求w的值。

Question

设三角形ABC的三边为a，b，c满足b^2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域

Answer 1

已知函数f(x)=√3sinωxcosωx-cos²ωx,(ω>0)的周期为π/2.
（1）求ω的值及f(x)的表达式。
（2）设△ABC的三边b²=ac,且b所对角为x,求此时函数f(x)的值域。

（1）f(x) = √3sinωxcosωx-cos²ωx
= (√3/2)sin(2ωx)-(1/2)cos(2ωx)-(1/2)
= sin(2ωx-π/6) - 1/2
T = 2π/2ω = π/2 ---> ω = 2
--->f(x) = sin(4x-π/6)-1/2

（2）cosx=(a²+c²-b²)/(2ac)≥(2ac-ac)/(2ac)=1/2
--->0＜x≤π/3--->-π/6＜4x-π/6≤7π/6
--->-1/2≤sin(4x-π/6)≤1
--->-1≤f(x)≤1/2

Answer 2

f(x)=√3sinwx*coswx-1/2(2cos^2(wx)-1+1)=((√3)/2)sin 2wx-1/2(cos2wx)-1/2=sin (2wx-π/6)-1/2

周期T=2π/2w=π/2那么w=2

f(x)=sin (4x-π/6)-1/2

用余弦定理，cos x=(a^2+c^2-b^2)/2ac
一般不等式a^2+c^2>2ac以及b^2=ac
带入以后得 cos x>ac/2ac=1/2
可得0<x<π/3
带回原f(x) 可以求得f(x)的值域[-1,1/2]
可以取到闭区间。