质数问题

Question

已知四个质数a＜b＜c＜d，并且a^2+b^2+c^2+d^2=511，求这四个质数

设a、b、c是三个不同的自然数，两两互质，已知它们任意两个之和都能被第三个整除，那么a^3+b^3+c^3=__________________

Answer 1

已知四个质数a＜b＜c＜d，并且a^2+b^2+c^2+d^2=511，求这四个质数
我们知道，质数中，除了2，其余的都是奇数
一个数，平方以后，奇偶性是不变的
现在四个数的平方和等于511，是奇数
a，b，c，c中，至少有3个是奇数
那么另外一个一定是偶数
又因为2是最小的质数，所以a=2
b^2+c^2+d^2=511-4=507
质数的个位数字，可能为1,3,5,7,9
平方以后，个位数字为：1,9,5,9,1
也就是说，一个质数的平方，个位数字只能为1或9，或者5（只有5这一个质数）
三个质数的和为507，和的个位是7，那么，这三个质数平方的个位数字，可能都是9或者5,1,1
1）个位都是9
3^2=9
7^2=49
13^2=169
17^2=289
49+169+289=507
所以b=7，c=13，d=17

2）个位是5,1,1
5^2=25
11^2=121
19^2=361

25+121+361=507
所以b=5，c=11，d=19

综上，这4个质数，分别为：
2,7,13,17
或2,5,11,19

设a、b、c是三个不同的自然数，两两互质，已知它们任意两个之和都能被第三个整除，那么a^3+b^3+c^3=__________________
任意两个数的和，都能被第三个整除
那么三个数的和，能同时被这三个数整除
这三个数又两两互质
所以a+b+c=a*b*c
a，b，c的值，分别为1,2,3
a^3+b^3+c^3=36

Answer 2

1.若这4个数都是奇数，则它们的平方也都是奇数
那么它们的平方和就是4个奇数相加，和应该是偶数
而511是奇数，所以这4个数不可能都是奇数
则其中有1个是偶数，其它3个是奇数
自然数中唯一的偶质数是2，所以：a=2
2²+b²+c²+d²=511
b²+c²+d²=507
因为：23²=529>507
所以：b<c<d<23
大于2小于23的质数有：3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
相应的平方数分别是： 9、25、49、121、169、289、361
凑一下：25+121+361=507
或：49+169+289=507
所以：b=5 c=11 d=19
或：b=7 c=13 d=17
那么，这四个质数分别是：2、5、11、19
或：2、7、13、17

2.a=1 b=2 c=3 满足“两两互质”和“任意两个之和都能被第三个整除”
则：a³+b³+c³=1³+2³+3³=1+8+27=36

Answer 3

511<529=23^2
a,b,c,d均小于23.小于23的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19
2^2=4
3^2=9
5^2=25
7^2=49
11^2=121
13^2=169
17^2=289
19^2=361
511=19^2+11^2+5^2+2^2

Answer 4

1. a=2 b=5 c=11 d=19
或者a=2 b=7 c=13 d=17
2. a^3+b^3+c^3=36