求f(s)=1/(3+s)的拉氏反变换

Answer 1

首先，我们需要找到 f (s) 的拉普拉斯逆变换。根据拉普拉斯逆变换的定义，我们有：

f−1(s) = ∫[0,∞] f(t)dt

现在，我们将 f (s) 代入上式中：

f−1(s) = ∫[0,∞] (3+s)/(1+s^2) dt

为了计算这个积分，我们可以使用换元法。令 u=3+s,du/ds=1,那么 du=ds。因此，我们可以将积分变为：

f−1(s) = ∫[0,∞] (u-3)/(u^2+4) du

接下来，我们使用分部积分法来计算这个积分。设 v=u-3,dv/du=du/(u^2+4),那么：

f−1(s) = ∫[0,∞] v*dv/(u^2+4) du

= [uv−3u]/[u^2+4] + C

其中 C 是积分常数。现在我们可以求出 f−1(s):

f−1(s) = [3+s](1+s^2)/(3+s)^2 + C

最后，我们需要找到 f (s) 的拉普拉斯逆变换。根据拉普拉斯逆变换的定义，我们有：

f(s)=f−1(s)⋅F(x)

其中 F(x) 是拉普拉斯变换函数。由于 f−1(s) 是一个连续函数，所以 F(x) 也是连续函数。因此，我们可以使用反演定理来求解 F(x)。具体来说，我们有：

F−1(f(x)) = x

现在我们可以将 f (s) 和 F(x) 代入上式中：

F(f−1(s))=f−1(x)⋅F(x)

= x⋅F(x)

= x⋅L{f(x)}{x}

其中 L{f(x)}{x} 是拉普拉斯变换函数。因此，我们可以得到：

F(f−1(s)) = x⋅L{f^{-1}(s)}{x} = x⋅[(3+s)(1+s^2)/(3+s)^2 + C]