相似三角形判定定理的证明

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相似三角形判定定理的证明如下：

如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的；如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形也是相似的。

1.角度相等的证明

设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。我们需要证明这两个三角形相似。由于角度之和为180度，所以∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180度。又由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F。因此，两个三角形的对应角度相等，可以得出它们是相似的。

2.边长成比例的证明

设有两个三角形ABC和DEF，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF。我们需要证明这两个三角形相似。根据边长比例的定义，可以将它们表示为AB=kDE，BC=kEF，AC=kDF，其中k为一个常数。

可以通过等式变形得到DE=AB/k，EF=BC/k，DF=AC/k。由于两个三角形的边长成比例，所以它们的对应边长之间有相等的比例关系。因此，两个三角形是相似的。

3.角度相等和边长成比例的综合证明

根据前面的证明，当两个三角形的对应角度相等或对应边长成比例时，它们是相似的。现在我们来证明如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，且其对应边长成比例，那么这两个三角形是相似的。设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF。

根据之前的证明，我们知道∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F，且DE=AB/k，EF=BC/k，DF=AC/k。根据三角形的角度之和和边长比例的定义，可以得出∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F，且DE=AB/k，EF=BC/k，DF=AC/k。因此，根据相似三角形判定定理，这两个三角形是相似的。

总结：

根据相似三角形判定定理的证明，我们可以得出当两个三角形的对应角度相等或对应边长成比例时，它们是相似的。这是因为角度相等意味着两个三角形的角度之和相等，边长成比例意味着两个三角形的对应边长之间有相等的比例关系。

通过综合角度相等和边长成比例的证明，我们可以得出当一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，且其对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。