一道简洁的数学证明题，自己想的

Question

求证：N^5-N=30K,(N,K∈Z）
最好不用讨论分几种情况~~
首先感谢大家的认真回答，下面是不用讨论的方法：
发现 Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)能被30整除，将其变形为(N-1)N(N+1)(N²+5N+6)=(N-1)N(N+1)(N²+1+5N+5)=(N-1)N(N+1)(N²+1)+(N-1)N(N+1)(5N+5)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²
因为5(N-1)N(N+1)²一定能被30整除，又Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²能被30整除，所以
N^5-N=30K,(N,K∈Z)得证。

Answer 1

思路就是证明做边的式子可以被2，3，5整除
左边=n(n+1)(n-1)(n^2+1)

n(n+1)(n-1)很容易得到可以被2 3整除

设n=5x+a
a=0 n=5x
a=1 n-1=5x
a=4 n+1=5x+5
这三种情况，很明显n(n+1)(n-1)可以被5整除
a=2 n=5x+2
n^2+1=(5x+2)^2+1=25x^2+20x+5=5(5x^2+4x+1) 可被5整除
a=3 n=5x+3
n^2+1=(5x+3)^2+1=25x^2+30x+10=5(5x^2+6x+2) 可被5整除

综上
n(n+1)(n-1)(n^2+1)
必然可被2，3，5整除，即被30整除
原式成立

Answer 2

汗~~
N^5-N
=N(N^4-1)
=(N-1)N(N+1)(N²+1)
明显(N-1)N(N+1)能被6整除
若(N-1)N(N+1)能被5整除，则原式能被30整除
若不能，则(N-1)N(N+1)除以5所得的余数为连续的自然数，要么1,2,3要么2,3,4，那么N=2或者3
若N=2，那么N的末位数字是2或7，平方后加1的末位数字是5或0，是5的倍数
若N=3那么N的末尾数字是3或8,平方后加1的末位数字是0或5，是5的倍数

综上所述，N^5-N=30K,(N,K∈Z）

Answer 3

n^5-n=n*(n^4-1)=(n-1)*n*(n+1)*(n^2+1)
(n-1),n,(n+1)三数中必有一个数能被2整除,一个数能被3整除,故(n-1)*n*(n+1) 必能被6整除,于是n^5-n必能被6整除.
另一方面,如果n能被5整除,则n^5-n也能被5整除,如果n不能被5整除,由于5是素数,由Fermat定理可知,n^5-n也能被5整除,因此对任意的n,n^5-n均能被5整除,于是n^5-n必能被30整除.