一阶线性非齐次微分方程y'=p(x)y+q(x)的通解是？

Question

一阶线性非齐次微分方程y'=p(x)y+q(x)的通解是？

Answer 1

先算对应的齐次方程的解.

y'+P(x)y=0

y'/y=-P(x)

lny=-∫P(x)dx+C

y=ke^(-∫P(x)dx)

下面用常数变易法求解原方程的解.

设k为u(x)

y=u(x)e^(-∫P(x)dx)

y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

代入得：

Q(x)

=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C

y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

扩展资料：

定义

形如  （记为式1）的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设  ，  是x的连续函数。

若  ，式1变为  （记为式2）称为一阶齐线性方程。

如果  不恒为0，式1称为一阶非齐线性方程，式2也称为对应于式1的齐线性方程。式2是变量分离方程，它的通解为  ，这里C是任意常数。

参考资料：百度百科——一阶线性微分方程

Answer 2

先算对应的齐次方程的解.
y'+P(x)y=0
y'/y=-P(x)
lny=-∫P(x)dx+C
y=ke^(-∫P(x)dx)
下面用常数变易法求解原方程的解.
设k为u(x)
y=u(x)e^(-∫P(x)dx)
y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
代入得：
Q(x)
=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C
y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

Answer 3

一阶线性非齐次微分方程的话，这个通解嗯比较难，我数学老师嗯交的晚。