已知∠ABC和∠ADC中,∠ACB=∠CAD=90,∠D=2∠B,AD=5,BC=15？

Question

则CD＝

Answer 1

解：⑴，∵S▲ABD/S▲ADC=（1/2）AB·AD·sin∠BAD/（1/2）AC·AD·sin∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∴sin∠BAD=sin∠CAD。
∴S▲ABD/S▲ADC=AB/AC=2。
∵AB/sin∠C=AC/sin∠B，
∴sin∠B/sin∠C=1/2。
⑵，∵S▲ABD/S▲ADC=BD/DC=2，AD=1，DC=√2/2，
∴BD=√2。
设AB=x，则AC=2x。
∵cos∠ADB=-cos∠ADC，
∴由余弦定理得：（AD²+BD²-AB²）/2AD·BD=（AD²+DC²-AC²）/2AD·DC。
∴[1²+（√2）²-x²]/√2=[1²+（√2/2）²-（2x）²]/（√2/2）。
∴15x²=3。
∴x=√5/5或x=-√5/5（舍去）。
∴AC=2x=2√5/5。