线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：
（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；
（2）、方程组如何求解，有多少个解；
（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：
（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；
（2）、交换某两个方程的位置；
（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵。
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。
常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。
齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题（1）解的存在性问题和（2）如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。
对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n！项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。
通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。
用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。
总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容
线性代数矩阵特征值问题证明题
若k是A的特征值，对应特征向量为p,则Ap=kp,所以A^mp=k^mp=0,但p≠0推出k^m=0,k=0 所以A的特征值只有0 反之，因为0是A的唯一特征值，所以A的特征多项式形如f(x)=x^m（m是A的阶）。根据Hamilton-Cayley定理：A满足特征多项式f(A)，所以f(A)=A^m=0 证毕!
请教高手线性代数证明题:矩阵A和单位矩阵E合同,求证A的特征值都大于0...
设A的任一特征值是λ,相应的特征向量是x,则Ax＝λx,即C'Cx＝λx 两边同时左乘以x',得(Cx)'(Cx)＝λ(x'x)因为x≠0,C可逆,所以Cx≠0,所以(Cx)'(Cx)＞0,x'x＞0,所以λ＞0 由λ的任意性得A的所有特征值都大于0
线性代数中特征值的一些证明
由于特征值为λ1、λ2……λn，所以你写的那个行列式一定可因式分解为（λ-λ1）（λ-λ2）……（λ-λn）＝0的形式。注意左边式子展开λ的n-1次方的系数为-（λ1＋λ2……＋λn）再观察你那行列式的λ的n-1次方的系数。第一题就证明出来了。至于第二题，这个矩阵相似于对角线元素为λ1...
线性代数,如果证明A转置的特征值也是λ
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立。
线性代数问题:已知A有一个特征值2,则A²+2A+E有一个特征值为:?
解：A的一个特征值是λ的话，f(A)为关于A的常系数多项式，则其对应的特征值就是f(λ)。本例证明如下：根据特征值的定义，存在非零列向量x及常数λ满足 Ax=λx 也即(A-λE)x=0有非零解。那么 (A²+2A+E)x=A²x+2Ax+x =A*Ax+2Ax+x =A*λx+2λx+x =λ*Ax+2λ...
关于线性代数的证明题: 急求亲们解答!
矩阵A正定的充要条件之一是A的特征值都大于0.所以，若A正定，则A的特征值都大于0 。又A^(-1)的特征值都是A的特征值的倒数，所以A^(-1)的特征值也都大于0，从而A^(-1)正定。而A*的特征值等于A的特征值除以|A|，因为A正定，所以|A|大于0，从而A*的特征值都大于0.故A*也正定。
线性代数,A的特征值与A的伴随矩阵的特征值有什么关系?怎么推出来的?
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。设A是数域P上的一...
线性代数求特征值,为什么把A的特征值直接代入式子,就得到B的特征值了...
第一步：假如λ为矩阵A的特征值，则有以下性质。A=λE，A^2=λ^2E |A|=λ1×λ2×λ3 第二步：求行列式B B=A^2-A+E=(λ^2-λ+1)E |B| =(2^2-2+1)(2^2+2+1)(1^2-1+1)=3×7×1 =21
线性代数题,求解答。。。
【分析】本题考查了特征值的定义，以及秩的关系基本知识。【解答】证明：① ABA=B-1，等式两端右乘B，得ABAB=E，即(AB)(AB)=E，（下面利用特征值定义证明）设AB的特征值为λ，对应的特征向量为α 在等式两端右乘α，得λ²α=α，(λ²-1)α = 0，由于α≠0，所以λ²...
线性代数 有关特征值取值问题
这个真的不能.知识点:1. 若λ是A的特征值, 则 f(λ) 是 f(A) 的特征值 2. 零矩阵的特征值只能是0 所以有 设λ是A的特征值, 则 λ^2+kλ 是 A^2+kA 的特征值 而 A^2+kA = 0 所以 λ^2+kλ = 0 所以 λ=0 或 -k 即 A的特征值只能取0和-k 另一个同理可证....
