高一数学集合问题。 急急急！！！！！！要讲得详细点！！！！！

Question

数集A满足条件：若a∈A,则有(1+a)∕(1-a) ∈A(a≠1).
⑴已知2∈A，求证：在A中必定还有另外三个元素，求出这三个数；
⑵若a∈R，求证：A不可能为单元素集合；
⑶求证：若a∈A且a≠0,则 -(1∕a)∈A.

Answer 1

若a∈A,则有(1+a)∕(1-a) ∈A(a≠1).

1) 2∈A => (1+2)/(1-2)∈A , -3 ∈A
-3∈A => (1-3)/(1+3)∈A , -0.5 ∈A
-0.5∈A => (1-0.5)/(1+0.5)∈A , 1/3 ∈A
1/3∈A => (1+1/3)/(1-1/3)∈A , 2∈A
另外三个元素: -3 , -1/2 , 1/3

2) a∈R, a≠1
A能为单元素集合 <=> (1+a)/(1-a) = a
(1+a)/(1-a) = a => 1+a = a-a^2 => a^2 + 1 =0
无实数解 => A不可能为单元素集合

3) 若a∈A,则有(1+a)∕(1-a) ∈A(a≠1).
若(1+a)∕(1-a)∈A,则有
[1+(1+a)∕(1-a)]∕[1-(1+a)∕(1-a)] ∈A(a≠1).
[1+(1+a)∕(1-a)]∕[1-(1+a)∕(1-a)]
= [(1-a)+(1+a)]/[(1-a)-(1+a)]
= 2/(-2a)
=-1/a ∈A

Answer 2

⑴ 由a∈A,则有(1+a)∕(1-a) ∈A(a≠1）得
当2∈A时 (1+2)/(1-2)=-3∈A
当-3∈A时 (1-3)/(1+3)=-1/2∈A
当-1/2∈A时（1-1/2）/（1+1/2）=1/3∈A
当1/3∈A时 （1+1/3）/（1-1/3）=2∈A
∴在A中必定还有另外三个元素为 -3 、-1/2、1/3
⑵假设A为单元素集合 则a=(1+a)/(1-a)
解得a^2=-1 与a∈R矛盾
所以A不可能为单元素集合
⑶∵a∈A ∴(1+a)∕(1-a) ∈A
又∵(1+a)∕(1-a) ∈A
∴[1+（1+a）/（1-a）]/[1-（1+a）/（1-a）]=-1/a∈A

Answer 3

第一问：因2属于A，则（1+2）/(1-2)=-3属于A
同理：（1-3）/(1+3)=-1/2属于A
(1-1/2)/(1+1/2)=1/3属于A

第二问：只要证明a不等于(1+a)∕(1-a) 即可：
即a-(1+a)∕(1-a) ≠0
a-(1+a)∕(1-a)=-（a2+1）/(1-a)
因a2大于等于0，所以a2+1大于等于1，又因a≠1，
所以，a-(1+a)∕(1-a)=-（a2+1）/(1-a)≠0
所以，A不可能为单元素集合

第三问：只要将-1/a带入(1+a)∕(1-a)中计算，再将结果带入(1+a)∕(1-a)计算，只要最后等于a即可。
将-1/a带入(1+a)∕(1-a)，则（1-1/a）/(1+1/a)=(a-1)/(a+1)
将(a-1)/(a+1)带入(1+a)∕(1-a)，则[1+(a-1)/(a+1)]/[1-(a-1)/(a+1)]=a
所以若a∈A且a≠0,则 -(1∕a)∈A

其中第一问的求证，可以用第三问的方式去做！

Answer 4

解：由题意得
∵2∈A
∴（1+2）/（1-2）=－3
(1-3）/（1+3）=－1/2
（1+1/2）/（1-1/2）=1/3
∴这三个数分别是-3,-1/2,1/3