如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA=AB．（1）如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图

Question

如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA=AB．（1）如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB，若A（-3，1），请求出A1点的坐标：（2）当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE．AF⊥y轴交BO于F，连接EF，作AG∥EF交y轴于G．试判断△AGE的形状，并说明理由；（3）当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，若A（3，3），C为x轴上一点，且OC=OA，∠BOC=15°，P为y轴上一点，过P作PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：①PO+PN-PM不变，②PO+PM+PN不变．其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值．

Answer 1

（1）解：如图所示：△A₁OB为所画的轴对称图形（1分）
过A作AC⊥x轴于C，A₁D⊥x轴于D，
∵A（-3，1），
∴AC=1，OC=3，
∵OA=AB，∠BAO=90°，
∴∠BOA=45°，
∴∠BOA₁=45°，
∴∠AOA₁=90°，
∴∠AOC+∠A₁OD=90°，
又∵∠AOC+∠OAC=180°-∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠A₁OD，
又∵∠ACO=∠ODA₁=90°，AO=A₁O，
∴△ACO≌△ODA₁（3分）
∴AC=OD=1，OC=A₁D=3，
∴A₁，（1，3）（4分）

（2）△AEG为等腰三角形（5分）
证明：过B作BH⊥AB于B交AF的延长线于H，
∵∠OAE=∠ABH=90°，∠AOE=∠BAH=90°-∠OAH，OA=AB，
∴△AEO≌△BHA（6分）
∴AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA，
又∵∠EBF=∠HBF=45°，BF=BF，
∴△BEF≌△BHF（SAS）
∴∠BHF=∠BEF（7分）
∵AG∥EF
∴∠EAG=∠BEF
∴∠EAG=∠AEG
∴AG=EG
即△AEG为等腰三角形（8分）

（3）PO+PN-PM=3不变，
解：过A作AL⊥x轴于L，连接AP、PC（9分）
∵A（

3

，3）
∴AL=3（（10分））
∵∠AOC=45°+15°=60°，OC=OA，
∴△AOC为等边三角形，
∵S_△POC=

1

2

PO?OC，
S_△PAC=

1

2

PN?AC，
S_△POA=

1

2

PM?OA，
S_△AOC=

1

2

AL?OC，（11分）
且S_△AOC=S_△POC+S_△PAC-S_△POA，
∴S_△AOC=

1

2

AL?OC=

1

2

PO?OC+

1

2

PN?AC-

1

2

PM?OA，
∴PO+PN-PM=AL=3（12分）．