已知函数f（x）=ex-a（x+2）-b（e为自然对数的底，a，b∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数

Question

已知函数f（x）=ex-a（x+2）-b（e为自然对数的底，a，b∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）的最小值为0，求b的最大值．

Answer 1

（1）f'（x）=e^x-a，
若a≤0，则f'（x）≥0恒成立，则f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调递增；
若a＞0，由f'（x）＞0解得x＞lna，
f（x）在区间（lna，+∞）上单调递增，在区间（-∞，lna）上单调递减．
（2）若a≤0，则f'（x）≥0恒成立，则f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增，函数f（x）不存在最小值；
若a＞0，由（1）f（x）在区间（lna，+∞）上单调递增，在区间（-∞，lna）上单调递减，
∴函数f（x）的最小值是f（lna）=a-a（lna+2）-b，因此b=-a-alna，
记h(x)＝?x?xlnx，h′(x)＝?1?lnx?x?

1

x

＝?lnx?2，
由h'（x）=0?x=e^-2，
且当0＜x＜e^-2时，h'（x）＞0，
且当x＞e^-2时，h'（x）＜0，
所以h（x）的最大值是h（e^-2）=e^-2，即b的最大值是e^-2．