计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2...

Question

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2）介于z=0,和z=2之间部分下侧 不要用两类曲面积分间关系转化为第一类曲面积分做,就直接按第二类曲面积分算下,

Answer 1

本题最简单的方法是高斯公式补Σ1：z=2,x²+y²≤4,上侧则两曲面加起来为封闭曲面,由Gauss公式∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫
(1-1)dxdydz=0因此原积分与Σ1上的积分互为相反数原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy
积分曲面为Σ1：z=2,x²+y²≤4上侧=-∫∫
-2
dxdy=2∫∫
1
dxdy被积函数为1,积分结果为区域面积：π*2²=8π