数学归纳法

Question

数学归纳法一般的数学归纳法都是先取1,n,证n+1,
这里多了个n-1,
不就相当于自己证明自己嘛？

Answer 1

数学归纳法实际上可以认为n<=k时均成立，再证明n=k+1的情况。这种方法叫第二数学归纳法，也叫强归纳法，参见百度百科：第二数学归纳法。

但这道题须注意：因为只证明了n=1时成立，当n=2时需要用到D[n-2]=D[0]是没有证明的，这时必须单独证明D[2]也成立，当n>=3时就可以沿用上面的归纳证明了。

关于上面这个注意事项，下面有一个有趣的例子：

命题：任意有限只鸟都是同一种。

证明：即证明任意n只鸟都是同一种。

当只有一只鸟，即n=1时，命题显然成立。

假设当n=k时成立，则当n=k+1时，即向k只鸟中加入一只鸟时，从原来的k只鸟中取出k-1只与新加入的鸟放到一起组成k只鸟，则根据归纳假设，这k只鸟是同一种，而取出的k-1只鸟与未取出的那只鸟也是同一种（即归纳假设：这k只鸟是同一种），所以这k+1只鸟都是同一种。

所以，根据数学归纳法，任意有限只鸟都是同一种。证毕。

这个命题显然是荒谬的。上面的证明的错误之处在于，当n=k+1=2时，即k=1时，k-1=0，这0只鸟不能用来传递证明原来的鸟与新加入的鸟是同一种。所以，归纳法中出现k-1之类的形式时，一定要注意验证初始情况。