逻辑学 一个证明系统是可靠的和完全的是什么意思？

Question

逻辑学

Answer 1

可靠和完全，说明命题逻辑系统是没有矛盾的（命题逻辑系统的性质），并且说明命题逻辑系统可以证明所有命题逻辑的真命题（命题逻辑系统的能力）。 嗯，应该是这个意思吧

Answer 2

一个证明系统，如果它之中的所有公式都是定理，那么它是可靠的。
一个证明系统，如果它的定理都包含在它之中，那么它是完全的。

Answer 3

可靠的：不会证明错误的东西，每一个系统中可证的论证都是有效的。
完全的：可以证明每个正确的东西，每一个该系统中可表示的有效论证都可以得到证明。

Answer 4

关于逻辑证明系统的充分性，完全性以及可靠性

大致观点：

1.这三个性质的最终形式是完全性，完全性等价于充分性且可靠性

2.这三个性质讨论的是Sequent和Semantic Sequent之间的关系：

完全性：Sequent=Semantic Sequent

可靠性：Sequent=>Semantic Sequent

充分性：Sequent<=Semantic Sequent

3.

semantic sequent:X |= φ

对X中signature的真值赋值后，X中的所有命题为真的话φ也为真。

sequent:X |- φ

存在一个以X为前提φ为结论的推演。

首先，从日常的思维实际看，逻辑是我们日常思维的上限和下限。

其次，并且也是最重要的，逻辑提供了建构科学理论的基石。所有的科学理论都表现为语句的集合。作为科学理论构成要素的语句可分为两大类：一类是描述经验事实的语句，我们称其为综合命题。它的特点是其真假是由命题描述的经验内容决定，如果一个综合命题描述的符合事实，它就是真的，否则就是假的。与综合命题相对应的是分析命题，分析命题不同，我们只需要分析构成命题的语词意义就能判定命题的真假，而无需考虑经验事实。所有的逻辑真理都是分析命题，定义也是分析命题。

在科学理论中，综合命题与分析命题有不同的功能。尽管综合命题来源于经验并传达经验信息，但如果仅仅有综合命题，那么即使所有命题都是真的，我们得到的仅仅是一个事实真理的集合，它只告诉我们什么是真，但不能说明为什么是真的。因此当我们对其真实性有怀疑时不能期望从这些命题获得可靠的解释。不仅如此，综合命题描述的是与过去经验相关的东西，由综合命题我们不能获得有关将来的预言以及对无法观察事件的推测。而解释和预测是科学理论的基本功能，这意味仅有综合命题是不能构成科学的理论的。

分析命题则不同，虽然分析性命题的真假不依赖于经验，特别是逻辑真理不传达任何有关经验的信息，但是它们或者表达的是定义，或者可以表达有效推演规则。定义在理论中的重要性是不言而喻的，它提供了理论所需要的基本概念。而当综合命题被纳入有效推理框架之中，就保证了前提真时结论必真，这是获取可靠解释进行科学预测的基本前提。因此，分析命题提供了理论解释和推演的框架。只有当分析命题同综合命题相结合才能构成理论，才能使理论具有科学的含义。从这个意义上讲，我们说逻辑提供了建构科学理论的基石。

第三，逻辑提供了科学检验的方法和工具。如果说科学理论的目的是探索描述有关外在世界规律的真理，毫无疑问科学理论依赖于经验。我们根据经验来检验综合命题是否符合事实，因而是否表达真理。但这并不否定逻辑学在知识检验中的重要性。我们对命题的检验是以已有的经验知识为前提的。对任一命题A，只有当我们的经验知识对A有效力时，才能说A（相对于我们的经验知识）是可检验的，A或者可被经验所证实或者被证伪。因此，我们对世界的认识过程并不表现为真理与谬误的对抗，而是在初始经验基础上就主张（可证实的）还是拒绝（可证伪的）命题进行的博弈。

然而这里所谓可证性仅仅是理论上的可证性，因为我们实际已获的知识不可能那么丰富，以致能允许我们解释关于世界的每一问题。因此，虽然每一真正有意义的命题都是或真或假的，但并非每一命题的真假都是可判定的。一个命题是可判定是指我们有现实能行的证明方法可确定命题的真假。由于只有被判定为真的命题才是真理，从这个意义上讲，分析和寻求正确的判定方法或许比研究真理本身更重要。然而判定方法的能行性往往是同逻辑规则系统联系在一起的，因此我们说逻辑为科学检验提供了有效的工具和方法。逻辑学重要理论意义在法律工作中得到最充分的体现。

完全性：completeness

充分性：adequacy

可靠性：validity

问题可以从定义的反面着手，最终用语言总结为：

1.

自然演绎的可靠性（soundness）表示推理的可靠性，

违背可靠性是指：

存在A是前提φ是结论的推理，但A是真的φ却是假的。

也就是说，虽然D是推理，但他的前提是真的结论却是假的。

2.

自然演绎的充分性表示？的充分性。

违背充分性表示：

虽然A真那么φ必然是真的，然而我们却找不到A为前提φ为结论的推理。

举例说明很简单。

任意可证式【定理，推理规则，公理】，都可以画个真值表，它必然是个永真式【重言式】。
反之亦然。

逻辑系统它的可靠性分析可以归结为三状态逻辑系统的可靠性分析。逻辑“与”系统、“或”系统、“非”系统及表决系统的可靠性分析可以用逻辑代数方法解决。复杂系统的可靠性分析只能用列表分析的方法进行。系统部件可靠性对系统可靠性的影响以部件的影响度、重要度表示

完全性定理(completeness theorem)，也称哥德尔完全性定理,是数理逻辑中重要的定理，是建立之间的对应语义真理和句法可证明在一阶逻辑，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。完备性定理说，如果一个公式在逻辑上是有效的，那么这个公式就有一个有限的推论（形式证明）。

哥德尔对定理的原始证明是通过将问题简化为特定语法形式的公式的特例，然后用特别的论证来处理这种形式。在现代的逻辑文本中，哥德尔的完备性定理通常用Henkin的证明来证明，而不是用哥德尔的原始证明。亨金的证明直接构造了任何一致的一阶理论的术语模型。James Margetson利用Isabelle定理证明书开发了一个计算机化的形式证明。其他的证明也是已知的。

Henkin定理是最简单的证明中最完整的定理的最直接的版本。

根据Henkin定理，完备性定理的证明如下：

 是有效的，那么

 没有模型。那么，通过与Henkin的对立

是一个不一致的公式。但是，由一致性的定义，如果

 是不一致的，那么有可能建立一个证明

 。

与不完备性定理的关系

哥德尔不完备性定理是另一个着名的结果，表明数学中的形式证明可以实现的内在固有的局限性。对于不完备性定理名指的是另一种意义完整。

它表明，在任何一致的、有效的理论

 含有皮亚诺算术（PA），式

 表达的一致性

 不能证明内

 。

对这个结果应用完备性定理给出了

 模型的存在，其中公式

是假的。这样的模型（恰恰是它所包含的“自然数”集合）必然是非标准的，因为它包含了

 的矛盾证明的代码数。但从外部看，

 是一致的。因此，这个

 的矛盾证明的代码编号必须是非标准编号。

事实上，任何包含PA的理论模型都是通过系统建构的算术模型存在定理而得到的，它总是不规范的，用非等价的可证析谓词和非等价的方法来解释自己的构造，所以这种构造是非递归的（因为递归定义是明确的）。

追问

好多啊，这是数理逻辑部分的吧。能用几句话概括一下吗

追答

首先，从日常的思维实际看，逻辑是我们日常思维的上限和下限。

其次，并且也是最重要的，逻辑提供了建构科学理论的基石。

第三，逻辑提供了科学检验的方法和工具。
由于只有被判定为真的命题才是真理，从这个意义上讲，分析和寻求正确的判定方法或许比研究真理本身更重要。然而判定方法的能行性往往是同逻辑规则系统联系在一起的，因此我们说逻辑为科学检验提供了有效的工具和方法。逻辑学重要理论意义在法律工作中得到最充分的体现。
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追问

你没有直接正面回答我的问题，而是在说逻辑学的作用